求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．

题型：不详难度：来源：

求证：1²－2²＋3²－4²＋…＋(2n－1)²－(2n)²＝－n(2n＋1)(n∈N^*)．

答案

利用数学归纳法来证明与自然数相关的命题，分为两步来进行。

解析

试题分析：证明：　①n＝1时，左边＝1²－2²＝－3，右边＝－3，等式成立．
②假设n＝k时，等式成立，即1²－2²＋3²－4²＋…＋(2k－1)²－(2k)²＝－k(2k＋1)².
当n＝k＋1时，1²－2²＋3²－4²＋…＋(2k－1)²－(2k)²＋(2k＋1)²－(2k＋2)²＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)²－(2k＋2)²＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k²＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1时，等式也成立．
由①②得，等式对任何n∈N^*都成立．
点评：主要是考查了数学归纳法的运用，分为两步骤来进行，属于基础题。