解:∵f′(x)=x2-1,an+1≥f′(an+1), ∴an+1≥(an+1)2-1 ∵函数g(x)=(x+1)2-1=x2+2x在区间[1,+∞)上单调递增, 于是由an≥1,得a2≥(a1+1)2-1≥22-1, 由此猜想:an≥2n-1 以下用数学归纳法证明这个猜想: ①当n=1时,1=a1≥21-1=1,结论成立; ②假设n=k时结论成立,即ak≥2k-1, 则当n=k+1时,由g(x)=(x+1)2-1在区间[1,+∞)上单调递增知, ak+1≥(ak+1)2-1≥22k-1≥2k+1-1,即n=k+1时,结论也成立 由①、②知,对任意n∈N*,都有an≥2n-1 即1+an≥2n, ∴, ∴。 |