已知α1，α2，…αn∈（0，π），n是大于1的正整数，求证：|sin（α1+α2+…+αn）|＜sinα1+sinα2+…+sinαn。

题型：0108 模拟题难度：来源：

已知α₁，α₂，…α_n∈（0，π），n是大于1的正整数，
求证：|sin（α₁+α₂+…+α_n）|＜sinα₁+sinα₂+…+sinα_n。

答案

解：下面用数学归纳法证明
①n=2时，

所以n=2时成立；
②假设n=k（k≥2）时成立，即
|sin（α₁+α₂+…+α_n）|＜…+sina_k
当n=k+1时，|sin（α₁+α₂+…+α_k+1）|=…+…+a_k）|
…+a_k）|+…+a_k）|
…+a_k）|
…+
∴n=k+1时也成立。
由①②得，原式成立。