已知,,n∈N*,(1)当n=1,2,3时,试比较f(n)与g(n)的大小关系;(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系,并给出证明.
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已知,,n∈N*,(1)当n=1,2,3时,试比较f(n)与g(n)的大小关系;(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系,并给出证明.
题型:0110 期末题
难度:
来源:
已知
,
,n∈N*,
(1)当n=1,2,3时,试比较f(n)与g(n)的大小关系;
(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系,并给出证明.
答案
解:(1)当n=1时,f(1)=1,g(1)=1,所以f(1)=g(1);
当n=2时,
,
,所以f(2)<g(2);
当n=3时,
,
,所以f(3)<g(3).
(2) 由(1),猜想f(n)≤g(n);
下面用数学归纳法给出证明:
①当n=1,2,3时,不等式显然成立;
②假设当n=k(k≥3)时不等式成立,即
,
那么,当n=k+1时,
,
因为
,
所以
;
由①、②可知,对一切n∈N*,都有f(n)≤g(n)成立.
举一反三
已知m,n为正整数,
(1)证明:当x>-1时,(1+x)
m
≥1+mx;
(2)对于n≥6,已知
,求证
,m=1,2,3,…,n;
(3)求出满足等式3
n
+4
n
+…+(n+2)
n
=(n+3)
n
的所有正整数n。
题型:0110 期末题
难度:
|
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已知α
1
,α
2
,…α
n
∈(0,π),n是大于1的正整数,
求证:|sin(α
1
+α
2
+…+α
n
)|<sinα
1
+sinα
2
+…+sinα
n
。
题型:0108 模拟题
难度:
|
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已知函数f(x)=
x
3
-x,数列{a
n
}满足条件:a
1
≥1,a
n+1
≥f′(a
n+1
)。试比较
与1的大小,并说明理由。
题型:同步题
难度:
|
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已知等比数列{a
n
}的首项a
1
=2,公比q=3,S
n
是它的前n项和,求证:
。
题型:江苏模拟题
难度:
|
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已知函数
,设数列{a
n
}满足a
1
=1,a
n+1
=f(a
n
),数列{b
n
}满足b
n
=|a
n
-
| ,S
n
=b
1
+b
2
+…b
n
(n∈N*)。
(1)用数学归纳法证明
;
(2)证明
。
题型:辽宁省高考真题
难度:
|
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