解:(1)用数学归纳法证明: (i)当时,原不等式成立;当时,左边,右边 因为 所以左边右边,原不等式成立; (ii)假设当时,不等式成立,即,则当时 ∵ ∴ 于是在不等式两边同乘以1+x得 所以 即当时,不等式也成立 综合(i)(ii)知,对一切正整数m,不等式都成立; (2)当时,由(1)得:(令易得) 于是,m=1,2,3,…,n; (3)由(2)知,当时
∴ 即 即当时,不存在满足该等式的正整数n 故只需要讨论n=1,2,3,4,5的情形 当时,,等式不成立 当n=2时,,等式成立; 当n=3时,,等式成立; 当n=4时,为偶数,为奇数,故,等式不成立; 当n=5时,同的情形可分析出,等式不成立 综上,所求的n只有2,3。 |