【题文】(1)设,求证: (2)已知正数x、y满足2x+y=1,求的最小值及对应的x、y值.(3)已知实数满足, 的最大值及对应的x、y、z值.
题型:难度:来源:
【题文】(1)设
,求证:
(2)已知正数x、y满足2x+y=1,求
的最小值及对应的x、y值.
(3)已知实数
满足
,
的最大值及对应的x、y、z值.
答案
【答案】(1)见解析;
(2)
,
时
有最小值为
。
(3)当
时,
取最大值,所以
.
解析
【解析】
试题分析:(1)法一,分析法:证明使a
3+b
3>a
2b+ab
2成立的充分条件成立,
法二,综合法:由条件a≠b推出:a
2-2ab+b
2>0,通过变形,应用不等式的性质可证出结论.(2)利用基本不等式求最值必须满足一正,二定,三相等三个条件,并且和为定值时,积有最大值,积为定值时,和有最小值(3)柯西不等式是一个非常重要的不等式,灵活巧妙的应用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解。可在证明不等式,解三角形相关问题,求函数最值,解方程等问题的方面得到应用,
,注意变形
试题解析:证明:法一:(分析法)
要证a
2+b
2>a
2b+ab
2成立,
只需证(a+b)(a
2-ab+b
2)>ab(a+b)成立
又因为a>0,
只需证a
2-ab+b
2>ab成立,
而依题设a≠b,则(a-b)
2>0显然成立,
由此命题得证.
法二:(综合法)∵a≠b,
∴a-b≠0
∴a
2-2ab+b
2>0
∴a
2-ab+b
2>ab(*)
而a,b均为正数,
∴a+b>0,
∴(a+b)(a
2-ab+b
2)>ab(a+b)
∴a
3+b
3>a
2b+ab
2.
(2)因为正数x、y满足2x+y=1,
当且仅当
时取等号。 由
得
所以当
,
时
有最小值为
。
(3)解:由柯西不等式:
.因为
所以
,即
.因为
的最大值是7,所以
,得
,
当
时,
取最大值,所以
.
考点:作差法是比较两个代数式大小的与基本不等式及柯西不等式
举一反三
【题文】下列函数中,在定义域内与函数
的单调性与奇偶性都相同的是( )
【题文】已知函数
在区间
单调递增,则满足
<
的
取值范围是( )
【题文】已知二次函数
,
(1)若
写出函数的单调增区间和减区间
(2)若
求函数的最大值和最小值:
(3)若函数在
上是单调函数,求实数
的取值范围.
【题文】已知函数
且此函数图象过点(1,5).
(1)求实数m的值;
(2)判断
奇偶性;
(3)判断函数
在
上的单调性?并用定义证明你的结论.
【题文】设定义在R上的函数
,对任意
有
,且当
时,恒有
,
(1)求
;
(2)判断该函数的奇偶性;
(3)求证:
时 ,
为单调递增函数.
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