【题文】(本题满分12分)若函数对任意的,恒有.当时,恒有.(1)判断函数的奇偶性,并证明你的结论;(2)判断函数的单调性,并证明你的结论;(3)若,解不等式.
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【题文】(本题满分12分)若函数
对任意的
,恒有
.当
时,恒有
.
(1)判断函数
的奇偶性,并证明你的结论;
(2)判断函数
的单调性,并证明你的结论;
(3)若
,解不等式
.
答案
【答案】(1)
为奇函数,证明详见解析;(2)
为
上的减函数,证明详见解析;(3)解集为:
.
解析
【解析】
试题分析:(1)抽象函数奇偶性的判断更要紧扣定义,用好
所取的特殊值,及它们之间的特殊关系,如
取一些特殊值
,
,
等,问题往往就有所突破;(2)抽象函数单调性的判断也要紧扣定义,用好已知条件中的不等关系;(3)解抽象不等式主要是运用抽象函数本身的单调性,这里是运用(2)得出的结论来解题.
试题解析:(1)令
,可知
,解得
又
,移项,
,所以
为奇函数;
(2)设
,且
,则
,由已知条件知
,从而
,即
,对照定义知:
为
上的减函数;
(3)由已知条件知
,又
,所以原不等式
可化为
,又因为
为
上的减函数,所以
,解得
,即原不等式的解集为:
.
考点:抽象函数性质的研究及运用.
举一反三
【题文】下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( )
【题文】若函数f(x)=3
x+3
-x与g(x)=3
x-3
-x的定义域均为R,则 ( )
A.f(x)与g(x)均为偶函数 |
B.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数 |
C.f(x)与g(x)均为奇函数 |
D.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数 |
【题文】(14分)已知函数
.
(1)用定义证明
是偶函数;
(2)用定义证明
在
上是减函数;
(3)作出函数
的图像,并写出函数
当
时的最大值与最小值.
【题文】(14分)已知函数
是定义在
上的奇函数,且
在定义域上是减函数,
(1)求函数
定义域; (2)若
,求
的取值范围.
【题文】函数
和
分别是
上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( )
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