如图所示，一个长L1=0.9m、宽L2=0.6m的光滑斜面体，其倾角θ=30°．有一长度L=0.4m的轻质绳一端固定在距斜面顶点A为L=0.4m斜面边缘的O点上

题型：不详难度：来源：

如图所示，一个长L₁=0.9m、宽L₂=0.6m的光滑斜面体，其倾角θ=30°．有一长度L=0.4m的轻质绳一端固定在距斜面顶点A为L=0.4m斜面边缘的O点上，另一端系一质量m=1kg的小球．现把小球拉至顶点A处，以v₀=1m/s的初速度沿斜面顶边缘水平抛出．（g取10m/s²）
（1）刚开始小球做什么运动？并说明理由．
（2）求小球运动至斜面边缘B点时受到绳子的拉力F_T．
（3）若小球运动至B点时绳子刚好断了，求小球从斜面上飞出后落地点与最初抛出点在地面上投影点的距离L₃．

答案

（1）小球沿斜面向下的加速度a=

mgsinθ

m

=5m/s²
其在斜面上运动可等效看作在g′=a=5m/s²的竖直平面上的曲线运动
由于小球刚抛出的速度v₀＜

g′L

=

2

m/s，故其开始做类平抛运动．
（2）如图所示，设它运动时间t秒至与水平线的夹角为α时，绳子刚好拉直．由平抛运动公式有：
  L+Lsinα=

1

2

g′t 2①
  Lcosα=v₀t②
①②联立并代入数据解得：α=0°，t=0.4s
α=0°，说明小球抛至绳子在水平线时刚好拉直．在拉直瞬间，由于绳子不可伸长，故小球水平速度瞬间变为零，只存在沿斜面向下的速度v_y
  v_y=g′t=5×0.4m/s=2m/s
以后小球在绳子束缚下沿斜面向下做圆周运动，设至B点时的速度为v₂．根据机械能守恒定律，有：
   mg′L+

1

2

mv_y²=

1

2

mv₂²
代入数据解得：v₂=

8

m/s
根据牛顿第二定律，有：F T-mg′=m

v 2 2

L

代入数据解得：F_T=25N
（3）绳断后小球以v₂做平抛运动，由题意知其高度h′=0.05m，设至落地所需时间为t′，
根据h=

1

2

gt′ 2解得：t′=0.1s，水平位移x=v₂t′
而本题斜面有效长度在地面投影长度L₄=v₂t′=0.4

3

m
所求的距离L 3=

x 2+L 4 2

=

0.56

m(或≈0.75m)
答：
（1）刚开始小球做类平抛运动．
（2）小球运动至斜面边缘B点时受到绳子的拉力F_T=25N．
（3）若小球运动至B点时绳子刚好断了，小球从斜面上飞出后落地点与最初抛出点在地面上投影点的距离L₃≈0.75m．