如图所示，AB是倾角为θ的粗糙直轨道，BCD是光滑的圆弧轨道，AB恰好在B点与圆弧相切，圆弧的半径为R．一个质量为m的物体（可以看作质点）从直轨道上的P点由静止

题型：不详难度：来源：

如图所示，AB是倾角为θ的粗糙直轨道，BCD是光滑的圆弧轨道，AB恰好在B点与圆弧相切，圆弧的半径为R．一个质量为m的物体（可以看作质点）从直轨道上的P点由静止释放，结果它能在两轨道间做往返运动．已知P点与圆弧的圆心O等高，物体与轨道AB间的动摩擦因数为μ．求：
（1）物体做往返运动的整个过程中在AB轨道上通过的总路程；
（2）最终当物体通过圆弧轨道最低点E时，对圆弧轨道的压力；
（3）为使物体能顺利到达圆弧轨道的最高点D，释放点距B点的距离L′应满足什么条件？

答案

（1）因为摩擦始终对物体做负功，所以物体最终在圆心角为2θ的圆弧上往复运动．
对整体过程由动能定理得
mgR•cosθ-μmgcosθ•x=0
所以总路程为x=

R

μ

．
（2）对B→E过程，由动能定理得
mgR（1-cosθ）=

1

2

mv_E^{2-------------------}①
F_N-mg=m

V 2E

R

------------------②
由①②得对轨道压力：F_N=（3-2cosθ）mg．
（3）设物体刚好到D点，则由向心力公式得
mg=m

V 2D

R

------------------③
对全过程由动能定理得
mgL′sinθ-μmgcosθ•L′-mgR（1+cosθ）=

1

2

mv_D^{2-----------------------}④
由③④得最少距离L′=

3+2cosθ

2sinθ-2μcosθ

•R．
故答案为：（1）在AB轨道上通过的总路程为x=

R

μ

．
（2）对圆弧轨道的压力为（3-2cosθ）mg
（3）释放点距B点的距离L′至少为

3+2cosθ

2sinθ-2μcosθ

•R．