若函数f（x）=（x+a）（bx+2a）（常数a、b∈R）是偶函数，且它的值域为（-∞，4]，则该函数的解析式f（x）=_．

题目

若函数f（x）=（x+a）（bx+2a）（常数a、b∈R）是偶函数，且它的值域为（-∞，4]，则该函数的解析式f（x）=______．

答案

由于f（x）的定义域为R，值域为（-∞，4]，
可知b≠0，∴f（x）为二次函数，
f（x）=（x+a）（bx+2a）=bx²+（2a+ab）x+2a²．
∵f（x）为偶函数，
∴其对称轴为x=0，∴-

2a+ab

2b

=0，
∴2a+ab=0，∴a=0或b=-2．
若a=0，则f（x）=bx²与值域是（-∞，4]矛盾，∴a≠0，
若b=-2，又其最大值为4，
∴

4b×2a2

4b

=4，∴2a²=4，
∴f（x）=-2x²+4．
故答案为-2x²+4