设f(x)=ex1+ax2,其中a为正实数. (1)当a=4/3时,求f(x)的极值点; (2)若f(x)为[1/2, 3/2]上的单调函数,求a的取值范围.
题目
设
f(x)=,其中a为正实数.
(1)当
a=时,求f(x)的极值点;
(2)若f(x)为
[, ]上的单调函数,求a的取值范围.
答案
∵
f′(x)=,
(1)当
a=时,若f'(x)=0,
则
4x2−8x+3=0⇒x1=, x2=,
x | (−∞,) | | (, ) | | (, +∞) |
f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) | 递增 | 极大值 | 递减 | 极小值 | 递增 |
∴
x1=是极大值点,
x2=是极小值点;
(2)记g(x)=ax
2-2ax+1,则g(x)=a(x-1)
2+(1-a),
∵f(x)为
[, ]上的单调函数,
则f'(x)在
[, ]上不变号,
∵
>0,
∴g(x)≥0或g(x)≤0对
x∈[, ]恒成立,
由g(1)≥0或
g()≤0⇒0<a≤1或
a≥,
∴a的取值范围是0<a≤1或
a≥.
(1)把a=
代入
f(x)=,对f(x)进行求导,令f′(x)=0,解出其极值点;
(2)已知f(x)上的为单调函数,可知f′(x)在
[, ]恒大于等于0,或恒小于等于0,利用求出a的取值范围.
利用导数研究函数的极值;函数的单调性与导数的关系.
此题主要考查利用导数求函数的单调性,解此题的关键是对f(x)能够正确求导,利用了转化的思想,是一道中档题;
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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