已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径．∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D．DE⊥AB于点E，且交AC于点P．连结AD， 求证： （1）∠DAC=∠DBA； （2）P是线段AF的中点．

题目

已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径．∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D．DE⊥AB于点E，且交AC于点P．连结AD，
求证：

（1）∠DAC=∠DBA；
（2）P是线段AF的中点．

答案

（1）∵BD平分∠CBA，
∴∠CBD=∠DBA，
∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，
∴∠DAC=∠CBD，
∴∠DAC=∠DBA．
（2）∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
又∵DE⊥AB于点E，
∴∠DEB=90°，
∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90°，
∴∠ADE=∠ABD=∠DAP，
∴PD=PA，
又∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°且∠ADE=∠DAP，
∴∠PDF=∠PFD，
∴PD=PF，
∴PA=PF，即P是线段AF的中点．