设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明:存在ξ∈(a,b),使得f″(ξ)=g″(ξ).
题目
设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明:存在ξ∈(a,b),使得f″(ξ)=g″(ξ).
答案
令F(x)=f(x)-g(x),则F(x)在上连续,在(a,b)内具有二阶导数且F(a)=F(b)=0.
(1)若f(x),g(x)在(a,b)内同一点c取得最大值,
则f(c)=g(c)⇒F(c)=0,
于是由罗尔定理可得,
存在ξ1∈(a,c),ξ2∈(c,b),
使得F′(ξ1)=F′(ξ2)=0.
再利用罗尔定理,可得,
存在ξ∈(ξ1,ξ2),
使得F″(ξ)=0,即f″(ξ)=g″(ξ).
(2)若f(x),g(x)在(a,b)内不同点c1,c2取得最大值,
则f(c1)=g(c2)=M,
于是F(c1)=f(c1)-g(c1)>0,F(c2)=f(c2)-g(c2)<0,
于是由零值定理可得,存在c3∈(c1,c2),使得F(c3)=0
于是由罗尔定理可得,存在ξ1∈(a,c3),ξ2∈(c3,b),使得F′(ξ1)=F′(ξ2)=0.
再利用罗尔定理,可得,存在ξ∈(ξ1,ξ2),使得F″(ξ)=0,即f″(ξ)=g″(ξ).
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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