函数f(x)=sin(x+θ)+3cos(x-θ)的图象关于y轴对称,则θ的值是(以下k∈Z)( ) A.kπ−π6 B.2kπ−π6 C.kπ−π3 D.2kπ−π3
题目
函数f(x)=sin(x+θ)+
cos(x-θ)的图象关于y轴对称,则θ的值是(以下k∈Z)( )
A.
kπ−B.
2kπ−C.
kπ−D. 2k
π−
答案
∵f(x)=sin(x+θ)+
cos(x-θ)的图象关于y轴对称,
∴函数f(x)=sin(x+θ)+
cos(x-θ)为偶函数,
∴f(-x)=f(x),
即sin(-x+θ)+
cos(-x-θ)=sin(x+θ)+
cos(x-θ),
sin(x+θ)+sin(x-θ)=
[cos(x+θ)-cos(x-θ)],
等号两端分别展开,整理得:
2sinxcosθ=-2
sinxsinθ,
∵sinx不恒为0,
∴tanθ=-
,又y=tanx的周期为kπ(k∈Z且k≠0),
∴θ=kπ-
(k∈Z).
故选A.
依题意,由f(-x)=f(x)⇒sin(x+θ)+sin(x-θ)=
[cos(x+θ)-cos(x-θ)],等号两端分别展开后整理可得tanθ=-
,从而可得答案.
正弦函数的对称性;三角函数中的恒等变换应用;两角和与差的正弦函数.
本题考查正弦函数的对称性,考查两角和与差的正弦与余弦,考查正切函数的周期性与特殊值,突出转化思想的考查,属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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