函数f(x)=sin(x+θ)+3cos(x-θ)的图象关于y轴对称,则θ的值是(以下k∈Z)(  ) A.kπ−π6 B.2kπ−π6 C.kπ−π3 D.2kπ−π3

函数f(x)=sin(x+θ)+3cos(x-θ)的图象关于y轴对称,则θ的值是(以下k∈Z)(  ) A.kπ−π6 B.2kπ−π6 C.kπ−π3 D.2kπ−π3

题目
函数f(x)=sin(x+θ)+
3
cos(x-θ)的图象关于y轴对称,则θ的值是(以下k∈Z)(  )
A. kπ−
π
6

B. 2kπ−
π
6

C. kπ−
π
3

D. 2kπ−
π
3
答案
∵f(x)=sin(x+θ)+
3
cos(x-θ)的图象关于y轴对称,
∴函数f(x)=sin(x+θ)+
3
cos(x-θ)为偶函数,
∴f(-x)=f(x),
即sin(-x+θ)+
3
cos(-x-θ)=sin(x+θ)+
3
cos(x-θ),
sin(x+θ)+sin(x-θ)=
3
[cos(x+θ)-cos(x-θ)],
等号两端分别展开,整理得:
2sinxcosθ=-2
3
sinxsinθ,
∵sinx不恒为0,
∴tanθ=-
3
3
,又y=tanx的周期为kπ(k∈Z且k≠0),
∴θ=kπ-
π
6
(k∈Z).
故选A.
依题意,由f(-x)=f(x)⇒sin(x+θ)+sin(x-θ)=
3
[cos(x+θ)-cos(x-θ)],等号两端分别展开后整理可得tanθ=-
3
3
,从而可得答案.

正弦函数的对称性;三角函数中的恒等变换应用;两角和与差的正弦函数.

本题考查正弦函数的对称性,考查两角和与差的正弦与余弦,考查正切函数的周期性与特殊值,突出转化思想的考查,属于中档题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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