已知关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0 求解?

题目

已知关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0 求解?
您已经回答过这个问题的答案,但是能否说一下详细过程,谢谢.已知关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0的两根为α、β,且两个关于x的方程x^2+(α+1)x+β^2=0与x^2+(β+1)x+α^2=0有唯一的公共根,求a、b、c的关系式
答案可能是-b/a=-2/5,c/a=-3/25

答案

你的意思是：方程x^2+(α+1)x+β^2=0与x^2+(β+1)x+α^2=0
都只有一个根,且相等是吧?
如果每个方程都有1个以上的根,且有一个公共根,则不是这样的：
α、β是方程ax^2+bx+c=0的2个不等实根
故：α+β=-b/a,αβ=c/a
而：(α+1)^2-4β^2=0---(1)
(β+1)^2-4α^2=0--------(2)
(1)-(2)：(α+1+β+1)(α+1-β-1)=4(β+α)(β-α)
故：α+β+2=-4(β+α)
即：α+β=-2/5
(1)+(2)：α^2+β^2+2(α+β)+2=4(α^2+β^2)
即：3(α^2+β^2)=2(α+β)+2=6/5
即：(α+β)^2-2αβ=2/5
即：2αβ=4/25-2/5=-6/25
即：αβ=-3/25
故：b/a=2/5,c/a=-3/25