已知正四棱锥p-ABCD的底面边长和侧棱长都为a,求二面角p-BC-A的余弦值

题目

已知正四棱锥p-ABCD的底面边长和侧棱长都为a,求二面角p-BC-A的余弦值

答案

作PE⊥BC于E、PF⊥DA于F,PE=PF=√3a/2,连结EF,
∵PB=PC,∴E是BC中点,同理,F是DA中点,连结EF,EF=a,
∴EF⊥BC,∠PEF是二面角P-BC-A的平面角,
△PEF中,由余弦定理
cosPEF=(PE^2+EF^2-PF^2)/(2PE*EF)=((√3a/2)^2+a^2-(√3a/2)^2)/(2√3a/2*a)=√3/3.