如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=7，∠B=60°，P为下底BC上一点（不与B、C重合），过P点作PE交DC于E，使得∠APE=∠B． （1）求等腰梯形的腰长； （2）证明：△AB

题目

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=7，∠B=60°，P为下底BC上一点（不与B、C重合），过P点作PE交DC于E，使得∠APE=∠B．
（1）求等腰梯形的腰长；
（2）证明：△ABP∽△PCE；
（3）在底边BC上是否存在一点P，使得DE：EC=5：3？如果存在，求出BP的长；如果不存在，请说明理由．

答案

（1）过A作AF⊥BC于F，过点D作DH⊥BC于H，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∴四边形ADHF是矩形，∴AF=DH，FH=AD，∵AB=DC，∴Rt△ABF≌Rt△DCH，∴BF=CH，∴BF=BC−AD2＝7−32＝2…（2分）在Rt△ABF中，∠B=60°，BF=2，∴A...

（1）解：过A作AF⊥BC于F，由已知可得BF的长，再根据直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半得出AB即可；
（2）根据∠APE=∠B，则∠APC=∠B+∠BAP，即可得出∠BAP=∠CPE，从而证明出∴△ABP∽△PCE；
（3）结论：存在这样的点P；由DE：EC=5：3，得CE的长，设BP=x，则PC=7-x，由△ABP∽△PCE，得AB：PC=BP：CE，代入数据得出的值，即可求出BP．

本题考点：相似三角形的判定与性质；解分式方程；等腰梯形的性质．

考点点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰梯形的性质，以及解分式方程，熟练掌握相似三角形的判定：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形两个角对应相等，那么这两个三角形相似．