如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AB于E，若BC=4，△AOE的面积为5，则sin∠BOE的值为 _ ．

题目

如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AB于E，若BC=4，△AOE的面积为5，则sin∠BOE的值为 ___ ．

答案

如图，连接EC．由题意可得，OE为对角线AC的垂直平分线，∴CE=AE，S△AOE=S△COE=5，∴S△AEC=2S△AOE=10．∴12AE•BC=10，又BC=4，∴AE=5，∴EC=5．在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE=CE2-BC2=52-42=3．∵∠EBC+∠EOC=...

由题意可知，OE为对角线AC的中垂线，则CE=AE=5，S_△AEC=2S_△AOE=10，由S_△AEC求出线段AE的长度，进而在Rt△BCE中，由勾股定理求出线段BE的长度；然后证明∠BOE=∠BCE，从而可求得结果．

本题考点：矩形的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义．

考点点评：本题是几何综合题，考查了矩形性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、圆周角、三角函数的定义等知识点，有一定的难度．解题要点有两个：（1）求出线段AE的长度；（2）证明∠BOE=∠BCE．