若a，b，c为两两不等的有理数．求证：1(a-b)2+1(b-c)2+1(c-a)2为有理数．

题型：解答题难度：一般来源：不详

若a，b，c为两两不等的有理数．求证：

1 (a-b)2 + 1 (b-c)2 + 1 (c-a)2

为有理数．

答案

证明：设x=

1 (a-b)2 + 1 (b-c)2 + 1 (c-a)2

，x2=

1

(a-b)2

+

1

(b-c)2

+

1

(c-a)2

由于[

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-a

]2

= 1 (a-b)2 + 1 (b-c)2 + 1 (c-a)2 +2[ 1 (a-b)(b-c) + 1 (b-c)(c-a) + 1 (c-a)(a-b) ] = 1 (a-b)2 + 1 (b-c)2 + 1 (c-a)2 +2[ (c-a)+(a-b)+(b-c) (a-b)(b-c)(c-a) ] = 1 (a-b)2 + 1 (b-c)2 + 1 (c-a)2

∴x2=[

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-a

]2
∴x=|

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-a

|
即

1 (a-b)2 + 1 (b-c)2 + 1 (c-a)2

=|

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-a

|
∴当a，b，c为两两不等的有理数时，|

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-a

|是有理数．