求满足2p2+p+8=m2-2m的所有素数p和正整数m．

题型：解答题难度：一般来源：不详

求满足2p²+p+8=m²-2m的所有素数p和正整数m．

答案

由题设得p（2p+1）=（m-4）（m+2），
由于p是素数，故p是（m-4）的因数，或p是（m+2）的因数．（5分）
（1）若p等于（m-4），令m-4=kp，k是正整数，于是m+2＞kp，3p²＞p（2p+1）=（m-4）（m+2）＞k²p²，故k²＜3，从而k=1，
所以

m-4=p m+2=2p+1

解得

p=5 m=9.

（10分）

（2）若p等于（m+2），令m+2=kp，k是正整数．
当p＞5时，有m-4=kp-6＞kp-p=p（k-1），3p²＞p（2p+1）=（m-4）（m+2）＞k（k-1）p²，
故k（k-1）＜3，从而k=1，或2，
由于p（2p+1）=（m-4）（m+2）是奇数，所以k≠2，从而k=1，
于是

m-4=2p+1 m+2=p

，
这不可能．当p=5时，m²-2m=63，m=9；当p=3，m²-2m=29，无正整数解；
当p=2时，m²-2m=18，无正整数解．
综上所述，所求素数p=5，正整数m=9．（20分）