当m为整数时,关于x的方程(2m-1)x2-(2m+1)x+1=0是否有有理根?如果有,求出m的值;如果没有,请说明理由.

当m为整数时,关于x的方程(2m-1)x2-(2m+1)x+1=0是否有有理根?如果有,求出m的值;如果没有,请说明理由.

题型:解答题难度:一般来源:不详
当m为整数时,关于x的方程(2m-1)x2-(2m+1)x+1=0是否有有理根?如果有,求出m的值;如果没有,请说明理由.
答案
当m为整数时,关于x的方程(2m-1)x2-(2m+1)x+1=0没有有理根.理由如下:
①当m为整数时,假设关于x的方程(2m-1)x2-(2m+1)x+1=0有有理根,则要△=b2-4ac为完全平方数,而△=(2m+1)2-4(2m-1)=4m2-4m+5=(2m-1)2+4,
设△=n2(n为整数),即(2m-1)2+4=n2(n为整数),所以有(2m-1-n)(2m-1+n)=-4,
∵2m-1与n的奇偶性相同,并且m、n都是整数,所以





2m-1-n=2
2m-1+n=-2





2m-1-n=-2
2m-1+n=2

解得m=
1
2
或m=-
1
2
(都不合题意舍去).
②2m-1=0时,m=
1
2
(不合题意舍去).
所以当m为整数时,关于x的方程(2m-1)x2-(2m+1)x+1=0没有有理根.
举一反三
当m______时,关于x的二次方程mx2-(1-2m)x+m=0没有实数根.
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已知关于x的方程mx2+mx+5=m有两个相等的实数根,则此根为______.
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当m______时,关于x的方程mx2+2(m+1)x+m-1=0有实数根.
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已知方程2x2+x=k(x-1)有两个相等实根,则k=______.
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方程4x2-(k+2)x+k-1=0有两个相等的实数根,它们是 .
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