已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=x有两个实数根x1,x2,且满足x1>0,x2-x1>1.(1)试证明c>0;(2)证明b2>2(b+2c);(3)对于
题型:解答题难度:一般来源:天津
已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=x有两个实数根x1,x2,且满足x1>0,x2-x1>1. (1)试证明c>0; (2)证明b2>2(b+2c); (3)对于二次函数y=x2+bx+c,若自变量取值为x0,其对应的函数值为y0,则当0<x0<x1时,试比较y0与x1的大小. |
答案
(1)将已知的一元二次方程化为一般形式即x2+(b-1)x+c=0, ∵x1,x2是该方程的两个实数根 ∴x1+x2=-(b-1),x1•x2=c, 而x1>0,x2>x1+1>0, ∴c>0;
(2)(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x1x2=(b-1)2-4c =b2-2b-4c+1, ∵x2-x1>1,∴(x2-x1)2>1, 于是b2-2b-4c+1>1,即b2-2b-4c>0, ∴b2>2(b+2c);
(3)当0<x0<x1时,有y0>x1, ∵y0=x02+bx0+c,x12+bx1+c=x1, ∴y0-x1=x02+bx0+c-(x12+bx1+c)=(x0-x1)(x0+x1+b), ∵0<x0<x1, ∴x0-x1<0, 又∵x2-x1>1 ∴x2>x1+1,x1+x2>2x1+1, ∵x1+x2=-(b-1)∴-(b-1)>2x1+1, 于是2x1+b<0 ∵0<x0<x1 ∴x0+x1+b<0, 由于x0-x1<0,x0+x1+b<0, ∴(x0-x1)(x0+x1+b)>0,即y0-x1>0, ∴当0<x0<x1时,有y0>x1. |
举一反三
若方程x2+3x+m=0的一根是另一根的一半,则m=______,两个根是______. |
已知一元二次方程2x2+bx+c=0的两个根是-1,3,则b=______,c=______. |
已知a为正整数a=b-2005,若关于x的方程x2-ax+b=0有正整数解,则a的最小值是多少? (温馨提示:先设方程的两根为x1,x2,然后…) |
若关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根互为相反数,则p=______;若两根互为倒数,则q=______. |
如果x1、x2是方程x2+4x+3=0的两根,则(x1+1)(x2+1)的值是______. |
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