已知双曲线y=kx与直线y=14x相交于A、B两点.第一象限上的点M(m,n)(在A点左侧)是双曲线y=kx上的动点.过点B作BD∥y轴交x轴于点D.过N(0,

已知双曲线y=kx与直线y=14x相交于A、B两点.第一象限上的点M(m,n)(在A点左侧)是双曲线y=kx上的动点.过点B作BD∥y轴交x轴于点D.过N(0,

题型:不详难度:来源:
已知双曲线y=
k
x
与直线y=
1
4
x
相交于A、B两点.第一象限上的点M(m,n)(在A点左侧)是双曲线y=
k
x
上的动点.过点B作BDy轴交x轴于点D.过N(0,-n)作NCx轴交双曲线y=
k
x
于点E,交BD于点C.
(1)若点D坐标是(-8,0),求A、B两点坐标及k的值;
(2)若B是CD的中点,四边形OBCE的面积为4,求直线CM的解析式;
(3)设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点,且MA=pMP,MB=qMQ,求p-q的值.
答案
(1)∵D(-8,0),
∴B点的横坐标为-8,代入y=
1
4
x中,得y=-2,
∴B点坐标为(-8,-2),
而A、B两点关于原点对称,∴A(8,2),
∴k=8×2=16;

(2)∵N(0,-n),B是CD的中点,A、B、M、E四点均在双曲线上,
∴mn=k,B(-2m,-
n
2
),C(-2m,-n),E(-m,-n),
∴S矩形DCNO=2mn=2k,
∴S△DBO=
1
2
mn=
1
2
k,
∴S△OEN=
1
2
mn=
1
2
k

∴S四边形OBCE=S矩形DCNO-S△DBO-S△OEN=k,
∴k=4,
由直线y=
1
4
x及双曲线y=
4
x
,得A(4,1),B(-4,-1),
∴C(-4,-2),M(2,2),
设直线CM的解析式是y=ax+b,
由C、M两点在这条直线上,得





-4a+b=-2
2a+b=2

解得a=b=
2
3

∴直线CM的解析式是y=
2
3
x+
2
3


(3)如图1,分别作AA1⊥x轴,MM1⊥x轴,垂足分别为A1、M1
设A点的横坐标为a,则B点的横坐标为-a,
于是p=
MA
MP
=
A1M1
M1O
=
a-m
m

同理q=
MB
MQ
=
m+a
m

∴p-q=
a-m
m
-
m+a
m
=-2

本题也可用相似求解,如图,酌情给分.
举一反三
如图,不重合的A(2,n)、B(n,2)两点在y=
n+4
x
(x>0)反比例函数的图象上,BC垂直于y轴于点C.
(1)求n的值;
(2)判断△ABC的形状;
(3)若存在点P(m,0),使△PAB是直角三角形,求出满足条件的所有m的值.
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如图,点P在反比例函数y=
1
x
(x>0)的图象上,且横坐标为2.若将点P先向右平移两个单位,再向上平移一个单位后所得图象为点P′.则经过点P"的反比例函数图象的解析式是______.
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已知点A(a,b)为双曲线y=
6
x
(x>0)图象上一点.
(1)如图1所示,过点A作AD⊥y轴于D点,点P是x轴任意一点,连接AP.求△APD的面积.
(2)以A(a,b)为直角顶点作等腰Rt△ABC,如图2所示,其中点B在点C的左侧,若B点的坐标为B(-1,0),且a、b都为整数时,试求线段BC的长.
(3)在(2)中,当等腰Rt△ABC的直角顶点A(a,b)在双曲线上移动时,B、C两点也随着移动,试用含a,b的式子表示C点坐标;并证明在移动过程中OC2-OB2的值恒为定值.
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如图,直线l1:x=1,l2:x=2,l3:x=3,l4:x=4,…,与函数y=
2
x
(x>0)的图象分别交于点A1、A2、A3、A4、…;与函数y=
5
x
(x>0)
的图象分别交于点B1、B2、B3、B4、….如果四边形A1A2B2B1的面积记为S1,四边形A2A3B3B2的面积记为S2,四边形A3A4B4B3的面积记为S3,…,以此类推.则S10的值是(  )
A.
19
60
B.
23
88
C.
25
104
D.
63
220

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如图,P为x轴正半轴上一点,过点P作x轴的垂线,交函数y=
1
x
(x>0)
的图象于点A,交函y=
4
x
(x>0)
的图象于点B,过点B作x轴的平行线,交y=
1
x
(x>0)
于点C,连接AC.
(1)当点P的坐标为(2,0)时,求△ABC的面积;
(2)当点P的坐标为(t,0)时,△ABC的面积是否随t值的变化而变化?
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