解:(1)∵点A(﹣1,0)在抛物线y=﹣(x﹣1)2+c上, ∴0=﹣(﹣1﹣1)2+c,解得c=4。 ∴抛物线解析式为:y=﹣(x﹣1)2+4。 令x=0,得y=3,∴C(0,3); 令y=0,得x=﹣1或x=3,∴B(3,0)。 (2)△CDB为直角三角形。理由如下: 由抛物线解析式,得顶点D的坐标为(1,4)。 如答图1所示,过点D作DM⊥x轴于点M,
则OM=1,DM=4,BM=OB﹣OM=2。 过点C作CN⊥DM于点N, 则CN=1,DN=DM﹣MN=DM﹣OC=1。 在Rt△OBC中,由勾股定理得:; 在Rt△CND中,由勾股定理得:; 在Rt△BMD中,由勾股定理得:。 ∵BC2+CD2=BD2,∴根据勾股定理的逆定理,得△CDB为直角三角形。 (3)设直线BC的解析式为y=kx+b, ∵B(3,0),C(0,3),∴,解得。 ∴直线BC的解析式为y=﹣x+3。 ∵直线QE是直线BC向右平移t个单位得到, ∴直线QE的解析式为:y=﹣(x﹣t)+3=﹣x+3+t。 设直线BD的解析式为y=mx+m, ∵B(3,0),D(1,4),∴,解得:。 ∴直线BD的解析式为y=﹣2x+6。 连接CQ并延长,射线CQ交BD于点G,则G(,3)。 在△COB向右平移的过程中: ①当0<t≤时,如答图2所示:
设PQ与BC交于点K,可得QK=CQ=t,PB=PK=3﹣t. 设QE与BD的交点为F, 则:,解得,∴F(3﹣t,2t)。 ∴S=S△QPE﹣S△PBK﹣S△FBE =PE•PQ﹣PB•PK﹣BE•yF =×3×3﹣(3﹣t)2﹣t•2t=。 ②当<t<3时,如答图3所示,
设PQ分别与BC、BD交于点K、点J, ∵CQ=t,∴KQ=t,PK=PB=3﹣t。 直线BD解析式为y=﹣2x+6,令x=t,得y=6﹣2t。∴J(t,6﹣2t)。 ∴S=S△PBJ﹣S△PBK=PB•PJ﹣PB•PK=(3﹣t)(6﹣2t)﹣(3﹣t)2=t2﹣3t+。 综上所述,S与t的函数关系式为:S=。 |