阅读下面的材料:小明在学习中遇到这样一个问题:若1≤x≤m,求二次函数的最大值.他画图研究后发现,和时的函数值相等,于是他认为需要对进行分类讨论.他的解答过程如
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阅读下面的材料:小明在学习中遇到这样一个问题:若1≤x≤m,求二次函数的最大值.他画图研究后发现,和时的函数值相等,于是他认为需要对进行分类讨论.他的解答过程如
题型:不详
难度:
来源:
阅读下面的材料:
小明在学习中遇到这样一个问题:若1≤
x
≤
m
,求二次函数
的最大值.他画图研究后发现,
和
时的函数值相等,于是他认为需要对
进行分类讨论.
他的解答过程如下:
∵二次函数
的对称轴为直线
,
∴由对称性可知,
和
时的函数值相等.
∴若1≤
m
<5,则
时,
的最大值为2;
若
m
≥5,则
时,
的最大值为
.
请你参考小明的思路,解答下列问题:
(1)当
≤
x
≤4时,二次函数
的最大值为_______;
(2)若
p
≤
x
≤2,求二次函数
的最大值;
(3)若
t
≤
x
≤
t
+2时,二次函数
的最大值为31,则
的值为_______.
答案
(1)y="49" (2)y="2p2+4p+1" 或17 (3)t=1或t=-5.
解析
试题分析:(1) ∵y=2x
2
+4x+1∴y=2(x+1)
2
-1. ∴对称轴x="-1,又-2≤x≤4时,y的最大值,当x=4时,y有最大值为49.(2)∵P≤x≤2" 由于二次函数具有对称性,当x=2与x=-4时,函数值相等,而x=-1时,y有最小值,是因为a﹥0,图像开口向上。∴当p≤-4,x=p时,y有最大值,y=2p
2
+4P+1.当-4﹤p≤2,x="2时,y有最大值" y="17.(3)当t≥-1,x=t+2时,y有最大值,即2(t+2" )
2
+4(t+2)+1=31 (t+7)(t-1)="0" ∴t
1
="1" t
2
="-7(舍去)" 当t﹤-1,x=t时,y有最大值,即2t
2
+4t+1="0" (t+5)(t-3)="0" t
1
="-5" t
2
=3(舍去)。∴t=1或t=-5解:(1)当
时,二次函数
的最大值为
49
; …… 1分
(2)∵二次函数
的对称轴为直线
,
∴由对称性可知,当
和
时函数值相等.
∴若
,则当
时,
的最大值为
. .................... 2分
若
,则当
时,
的最大值为17. ............................. 3分
(3)
的值为
或
. .................................................. 5分
阅卷说明:只写
或只写
得1分;有错解得0分.
点评:本题是难题,难点在于当自变量x的取值范围内要考虑到对称轴的关系,需要讨论。此题还可以依据函数的单调性来讨论,即是在对称轴为准,自变量x在那个范围上是y随着x的增大而增大,即为增函数,反之,减函数。由此得到函数的最值。
举一反三
已知抛物线
经过点(
,
).
(1)求
的值;
(2)若此抛物线的顶点为(
,
),用含
的式子分别表示
和
,并求
与
之间的函数关系式;
(3)若一次函数
,且对于任意的实数
,都有
≥
,直接写出
的取值范围.
题型:不详
难度:
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如图1,平面直角坐标系中,抛物线
与
轴交于
A
、
B
两点,点
C
是
AB
的中点,
CD
⊥
AB
且
CD
=
AB
.直线
BE
与
轴平行,点
F
是射线
BE
上的一个动点,连接
AD
、
AF
、
DF
.
(1)若点
F
的坐标为(
,
),
AF
=
.
①求此抛物线的解析式;
②点
P
是此抛物线上一个动点,点
Q
在此抛物线的对称轴上,以点
A
、
F
、
P
、
Q
为顶点构成的四边形是平行四边形,请直接写出点
Q
的坐标;
(2)若
,
,且
AB
的长为
,其中
.如图2,当∠
DAF
=45时,求
的值和∠
DFA
的正切值.
题型:不详
难度:
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二次函数
y
=
x
2
-6
x
+5的图像的顶点坐标是( )
A.(-3, 4)
B.(3,-4)
C.(-1,2)
D.(1,-4)
题型:不详
难度:
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如图所示是二次函数y=ax
2
+bx+c图象的一部分,图象过A点(3,0),二次函数图象对称轴为直线x=1,给出五个结论:
①bc>0;②a+b+c<0;
③方程ax
2
+bx+c=0的根为x
1
= -1,x
2
=3;
④当x<1时,y随着x的增大而增大;
⑤4a-2b+c>0
其中正确结论是( )
A.①②③
B.①③④
C.②③④
D.③④⑤
题型:不详
难度:
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(本题满分12分)
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x
元(x>50),月销售利润为
y
元,求
y
(用含
x
的代数式表示);
(2)现该商店要保证每月盈利8750元,同时又要使顾客得到尽可能多的实惠,那么销售单价应定为多少元?
题型:不详
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