阅读下面的材料:小明在学习中遇到这样一个问题:若1≤x≤m,求二次函数的最大值.他画图研究后发现,和时的函数值相等,于是他认为需要对进行分类讨论.他的解答过程如

阅读下面的材料:小明在学习中遇到这样一个问题:若1≤x≤m,求二次函数的最大值.他画图研究后发现,和时的函数值相等,于是他认为需要对进行分类讨论.他的解答过程如

题型:不详难度:来源:
阅读下面的材料:
小明在学习中遇到这样一个问题:若1≤xm,求二次函数的最大值.他画图研究后发现,时的函数值相等,于是他认为需要对进行分类讨论.
他的解答过程如下:
∵二次函数的对称轴为直线
∴由对称性可知,时的函数值相等.
∴若1≤m<5,则时,的最大值为2;
m≥5,则时,的最大值为

请你参考小明的思路,解答下列问题:
(1)当x≤4时,二次函数的最大值为_______;
(2)若px≤2,求二次函数的最大值;
(3)若txt+2时,二次函数的最大值为31,则的值为_______.
答案
(1)y="49" (2)y="2p2+4p+1" 或17 (3)t=1或t=-5.
解析

试题分析:(1) ∵y=2x2+4x+1∴y=2(x+1)2-1. ∴对称轴x="-1,又-2≤x≤4时,y的最大值,当x=4时,y有最大值为49.(2)∵P≤x≤2" 由于二次函数具有对称性,当x=2与x=-4时,函数值相等,而x=-1时,y有最小值,是因为a﹥0,图像开口向上。∴当p≤-4,x=p时,y有最大值,y=2p2+4P+1.当-4﹤p≤2,x="2时,y有最大值" y="17.(3)当t≥-1,x=t+2时,y有最大值,即2(t+2" )2+4(t+2)+1=31  (t+7)(t-1)="0" ∴t1="1" t2="-7(舍去)" 当t﹤-1,x=t时,y有最大值,即2t2+4t+1="0" (t+5)(t-3)="0" t1="-5" t2=3(舍去)。∴t=1或t=-5解:(1)当时,二次函数的最大值为 49 ;  ……    1分
(2)∵二次函数的对称轴为直线
∴由对称性可知,当时函数值相等.
∴若,则当时,的最大值为.  .................... 2分
,则当时,的最大值为17.  ............................. 3分
(3)的值为 .  .................................................. 5分
阅卷说明:只写或只写得1分;有错解得0分.
点评:本题是难题,难点在于当自变量x的取值范围内要考虑到对称轴的关系,需要讨论。此题还可以依据函数的单调性来讨论,即是在对称轴为准,自变量x在那个范围上是y随着x的增大而增大,即为增函数,反之,减函数。由此得到函数的最值。
举一反三
已知抛物线经过点().
(1)求的值;
(2)若此抛物线的顶点为(),用含的式子分别表示,并求之间的函数关系式;
(3)若一次函数,且对于任意的实数,都有,直接写出的取值范围.
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如图1,平面直角坐标系中,抛物线轴交于AB两点,点CAB的中点,CDABCD=AB.直线BE轴平行,点F是射线BE上的一个动点,连接ADAFDF.

(1)若点F的坐标为(),AF=.
①求此抛物线的解析式;
②点P是此抛物线上一个动点,点Q在此抛物线的对称轴上,以点AFPQ为顶点构成的四边形是平行四边形,请直接写出点Q的坐标;
(2)若,且AB的长为,其中.如图2,当∠DAF=45时,求的值和∠DFA的正切值.
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二次函数yx2-6x+5的图像的顶点坐标是(  )
A.(-3, 4)B.(3,-4)C.(-1,2)D.(1,-4)

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如图所示是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过A点(3,0),二次函数图象对称轴为直线x=1,给出五个结论:
①bc>0;②a+b+c<0;
③方程ax2+bx+c=0的根为x1= -1,x2=3;
④当x<1时,y随着x的增大而增大;
⑤4a-2b+c>0
其中正确结论是(  )
A.①②③B.①③④C.②③④D.③④⑤

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(本题满分12分)
某商店经销一批小家电,每个小家电的成本为40元。据市场分析,销售单价定为50元时,一个月能售出500件;若销售单价每涨1元,月销售量就减少10件.针对这种小家电的销售情况,请回答以下问题:
(1)设销售单价定为x元(x>50),月销售利润为y元,求y(用含x的代数式表示);
(2)现该商店要保证每月盈利8750元,同时又要使顾客得到尽可能多的实惠,那么销售单价应定为多少元?
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