如图14,已知点A(-1,0),B(4,0),点C在y轴的正半轴上,且∠ACB=900,抛物线经过A、B、C三点,其顶点为M.求抛物线的解析式;试判断直线CM与
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如图14,已知点A(-1,0),B(4,0),点C在y轴的正半轴上,且∠ACB=900,抛物线经过A、B、C三点,其顶点为M.求抛物线的解析式;试判断直线CM与
题型:不详
难度:
来源:
如图14,已知点A(-1,0),B(4,0),点C在y轴的正半轴上,且∠ACB=90
0
,抛物线
经过A、B、C三点,其顶点为M.
求抛物线
的解析式;
试判断直线CM与以AB为直径的圆的位置关系,并加以证明;
在抛物线上是否存在点N,使得
?如果存在,那么这样的点有几个?如果不存在,请说明理由。
答案
解:(1)Rt△ACB中,OC⊥AB,AO=1,BO=4,
∴△ACO∽△ABO 。∴
,∴OC
2
=OA•OB=4。
∴OC=2。∴点C(0,2)。
∵抛物线
经过A、B两点,
∴设抛物线的解析式为:
,将C点代入上式,得:
,解得
。
∴抛物线的解析式:
,即
。
(2)直线CM与以AB为直径的圆相切。理由如下:
如图,设抛物线的对称轴与x轴的交点为D,连接CD。
由于A、B关于抛物线的对称轴对称,则点D为Rt△ABC斜边AB的中点,CD=
AB。
由(1)知:
,
则点M(
),ME=
。
而CE=OD=
,OC=2,∴ME:CE=OD:OC。
又∵∠MEC=∠COD=90°,∴△COD∽△CEM。∴∠CME=∠CDO。
∴∠CME+∠CDM=∠CDO+∠CDM=90°。∠DCM=90°。
∵CD是⊙D的半径,∴直线CM与以AB为直径的圆相切。
(3)由B(4,0)、C(0,2)得:BC=
,
则:
。
过点B作BF⊥BC,且使BF=h=
,过F作直线l∥BC交x轴于G。
Rt△BFG中,sin∠BGF=sin∠CBO=
,
BG=BF÷sin∠BGF=
。
∴G(0,0)或(8,0)。
易知直线BC:y=
x+2,则可设直线l:y=
x+b,
将G点坐标代入,得:b=0或b=4,则:
直线l:y=
x或y=
x+4;
联立抛物线的解析式,得:
,或
。
解得
或
或
。
∴抛物线上存在点N,使得
,这样的点有3个:
。
解析
二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,相似三角形的判定和性质,二次函数的性质,直线与的位置关系,平行线的性质。
【分析】(1)Rt△ACB中,OC⊥AB,利用相似三角形能求出OC的长,即可确定C点坐标,再利用待定系数法能求出该抛物线的解析式。
(2)证明CM垂直于过点C的半径即可。
(3)先求出线段BC的长,根据△BCN的面积,可求出BC边上的高,那么做直线l,且直线l与直线BC的长度正好等于BC边上的高,那么直线l与抛物线的交点即为符合条件的N点。
举一反三
问题背景
若矩形的周长为1,则可求出该矩形面积的最大值.我们可以设矩形的一边长为x,面积为s,则s与x的函数关系式为:
,利用函数的图象或通过配方均可求得该函数的最大值.
提出新问题
若矩形的面积为1,则该矩形的周长有无最大值或最小值?若有,最大(小)值是多少?
分析问题
若设该矩形的一边长为x,周长为y,则y与x的函数关系式为:
,问题就转化为研究该函数的最大(小)值了.
解决问题
借鉴我们已有的研究函数的经验,探索函数
的最大(小)值.
(1)实践操作:填写下表,并用描点法画出函数
的图象:
x
···
1
2
3
4
···
y
(2)观察猜想:观察该函数的图象,猜想当x=
时,函数
有最
值(填
“大”或“小”),是
.
(3)推理论证:问题背景中提到,通过配方可求二次函数
的最大值,请你尝试通过配方求函数
的最大(小)值,以证明你的猜想. 〔提示:当
时,
〕
题型:不详
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抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=2,且经过点p(3‚0).则a+b+c的值为( )
A.1
B. 2
C.–1
D. 0
题型:不详
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已知,A(3,a)是双曲线y=
上的点,O是原点,延长线段AO交双曲线于另一点B,又过B点作BK⊥x轴于K.
(1)试求a的值与点B坐标;
(2)在直角坐标系中,先使线段AB沿x轴的正方向平移6个单位,得线段A
1
B
1
,再依次在与y轴平行的方向上进行第二次平移,得线段A
2
B
2
,且可知两次平移中线段AB先后滑过的面积相等(即▱AA
1
B
1
B与▱A
1
A
2
B
2
B
1
的面积相等).求出满足条件的点A
2
的坐标,并说明△AA
1
A
2
与△OBK是否相似的理由;
(3)设线段AB中点为M,又如果使线段AB与双曲线一起移动,且AB在平移时,M点始终在抛物线y=
(x-6)
2
-6上,试判断线段AB在平移的过程中,动点A所在的函数图象的解析式;(无需过程,直接写出结果.)
(4)试探究:在(3)基础上,如果线段AB按如图2所示方向滑过的面积为24个平方单位,且M点始终在直线x=6的左侧,试求此时线段AB所在直线与x轴交点的坐标,以及M点的横坐标.
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如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,点P在AB上,AP=2,点E,F同时从点P出发,分别沿PA,PB以每秒1个单位长度的速度向点A,B匀速运动,点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动,点F运动到点B时停止,点E也随之停止.在点E,F运动过程中,以EF为边作正方形EFGH,使它与△ABC在线段AB的同侧.设E,F运动的时间为t秒(t>0),正方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S.
(1)当t=1时,正方形EFGH的边长是
,当t=3时,正方形EFGH的边长是
;
(2)当0<t≤2时,求S与t的函数关系式;
(3)直接答出:在整个运动过程中,当t为何值时,S最大?最大面积是多少?
题型:不详
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平面直角坐标系中,平行四边形ABOC如图放置,点A、C的坐标分别为(0,3)、(-1,0),将此平行四边形绕点0顺时针旋转90°,得到平行四边形
。
(1)若抛物线过点C,A,
,求此抛物线的解析式;
(2)求平行四边形ABOC和平行四边形
重叠部分△
的周长;
(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点,间:点M在何处时△
的面积最大?最大面积是多少?并求出此时点M的坐标。
题型:不详
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