如图,已知抛物线经过定点A(1,0),它的顶点P是y轴正半轴上的一个动点,P点关于x轴的对称点为P′,过P′ 作x轴的平行线交抛物线于B、D两点(B点在y轴右侧

如图,已知抛物线经过定点A(1,0),它的顶点P是y轴正半轴上的一个动点,P点关于x轴的对称点为P′,过P′ 作x轴的平行线交抛物线于B、D两点(B点在y轴右侧

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如图,已知抛物线经过定点A(1,0),它的顶点P是y轴正半轴上的一个动点,
P点关于x轴的对称点为P′,过P′ 作x轴的平行线交抛物线于B、D两点(B点在y轴右
侧),直线BA交y轴于C点.按从特殊到一般的规律探究线段CA与CB的比值:
(1)当P点坐标为(0,1)时,写出抛物线的解析式并求线段CA与CB的比值;
(2)若P点坐标为(0,m)时(m为任意正实数),线段CA与CB的比值是否与⑴所求的比值相同?请说明理由.
答案
⑴ 设抛物线的解析式为 ,    
           ∵抛物线经过 , ,            
            .                  


,
,

,.              

,     
.        
⑵ 设抛物线的解析式为       


.          




,       
同⑴得       
.    
解析
(1)根据抛物线经过A(1,0),设抛物线的解析式为y=ax2+1,首先得出二次函数解析式,进
而得出P"点的坐标,从而得出B点坐标,再利用△CP′B∽△COA,得出线段CA与CB的比值;
(2)根据设抛物线的解析式为y=ax2+m(a≠0),得出y=-mx2+m,首先表示出B点的坐标,进而利用△CP
′B∽△COA,得出线段CA与CB的比值.
举一反三
已知:抛物线(a≠0)的顶点M的坐标为(1,-2)与y轴交于点C(0,),与x轴交于AB两点(AB的左边).

(1)求此抛物线的表达式;
(2)点P是线段OB上一动点(不与点B重合),点Q在线段BM上移动且∠MPQ=45°,设线段OPxMQ1,求y1x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)①在(2)的条件下是否存在点P,使△PQBPB为底的等腰三角形,若存在试求点Q的坐标,若不存在说明理由;
②在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点F,使△BMF是等腰三角形,若存在直接写出所有满足条件的点F的坐标.
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今年我国多个省市遭受严重干旱,受旱灾的影响,4月份,我市某蔬菜价格呈上升趋势,其前四周每周的平均销售价格变化如下表:
周数x
1
2
3
4
价格y(元/千克)
2
2.2
2.4
2.6
(1)请观察题中的表格,用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识直接写出4月份y与x 的函数关系式;
(2)进入5月,由于本地蔬菜的上市,此种蔬菜的平均销售价格y(元/千克)从5月第1周的2.8元/千克下降至第2周的2.4元/千克,且y与周数x的变化情况满足二次函数y=- x2+bx+c. ,请求出5月份y与x的函数关系式
(3)若4月份此种蔬菜的进价m(元/千克)与周数x所满足的函数关系为m=x+1.2,5月份此种蔬
菜的进价m(元/千克)与周数x所满足的函数关系为m=x+2.试问4月份与5月份分别在哪一周销
售此种蔬菜一千克的利润最大?且最大利润分别是多少?
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如图,在坐标系中,菱形ABCD的边BC与x轴重合,点B与原点重合,AB=10, ∠ABC=60°.动点P从点B出发沿BC边以每秒1个单位长的速度匀速运动;动点Q从点D出发沿折线DC-CB-BA以每秒3个单位长的速度匀速运动,过点P作PF⊥BC,交折线AB-AC于点E,交直线AD于点F.若P、Q两点同时出发,当其中一点到达终点时整个运动随之停止,设运动时间为t秒.
(1)写出点A与点D的坐标
(2)当t=3秒时,试判断QE与AB之间的位置关系?
(3)当Q在线段DC上运动时,若△PQF为等腰三角形,求t的值;
(4)设△PQE的面积为S,求S与t的函数关系式;
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如图所示,抛物线my=ax2+ba<0,b>0)与x轴于点AB(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.将抛物线m绕点B旋转180°,得到新的抛物线n,它的顶点为C1,x轴的另一个交点为A1.

(1)当a=-1,b=1时,求抛物线n的解析式;
(2)四边形AC1A1C是什么特殊四边形,请写出结果并说明理由;
(3)若四边形AC1A1C为矩形,请求出a,b应满足的关系式.
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如图,抛物线y=ax2与反比例函数的图象交于P点,若P点横坐标为1,则关于x的不等式>0的解是(  )                                          
A.x>1B.x<-1C.-1<x<0D.0<x<1

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