如图,在平面直角坐标系中,直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上.O为原点,点A的坐标为(6,0),点B的坐标为(0,8).动点M从点O出发.沿OA向终点
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如图,在平面直角坐标系中,直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上.O为原点,点A的坐标为(6,0),点B的坐标为(0,8).动点M从点O出发.沿OA向终点
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如图,在平面直角坐标系中,直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上.O为原点,点A的坐标为(6,0),点B的坐标为(0,8).动点M从点O出发.沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动,同时动点N从点A出发,沿AB向终点B以每秒
个单位的速度运动.当一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动,设动点M、N运动的时间为t秒(t>0).
(1)当t=3秒时.直接写出点N的坐标,并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式;
(2)在此运动的过程中,△MNA的面积是否存在最大值?若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由;
(3)当t为何值时,△MNA是一个等腰三角形?
答案
解:(1)N(3,4)。
∵A(6,0)
∴可设经过O、A、N三点的抛物线的解析式为:y=ax(x﹣6),则将N(3,4)代入得
4=3a(3﹣6),解得a=﹣
。
∴抛物线的解析式:
。
(2)存在。过点N作NC⊥OA于C,
由题意,AN=
t,AM=OA﹣OM=6﹣t,
∴NC=NA•sin∠BAO=
。
∴
。
∴△MNA的面积有最大值,且最大值为6。
(3)在Rt△NCA中,AN=
t,NC=AN•sin∠BAO=
,AC=AN•cos∠BAO=t。
∴OC=OA﹣AC=6﹣t。∴N(6﹣t,
)。
∴
。
又AM=6﹣t且0<t<6,
①当MN=AN时,
,即t
2
﹣8t+12=0,解得t
1
=2,t
2
=6(舍去)。
②当MN=MA时,
,即
,解得t
1
=0(舍去),t
2
=
。
③当AM=AN时,6﹣t=
t,即t=
。
综上所述,当t的值取 2或
或
时,△MAN是等腰三角形。
解析
二次函数综合题,动点问题,勾股定理,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,锐角三角函数定义,二次函数的最值,等腰三角形的性质。
(1)由A、B的坐标,可得到OA=6,OB=8,根据勾股定理可得AB=10。
当t=3时,AN=
t=5=
AB,即N是AB的中点,由此得到点N的坐标N(3,4)。
利用待定系数法,设交点式求出抛物线的解析式。
(2)△MNA中,过N作MA边上的高NC,先由∠BAO的正弦值求出NC的表达式,而AM=OA-OM,由三角形的面积公式可得到关于S
△
MNA
关于t的函数关系式,由二次函数的最值原理即可求出△MNA的最大面积。
(3)首先求出N点的坐标,然后表示出AM、MN、AN三边的长。由于△MNA的腰和底不确定,若该三角形是等腰三角形,可分三种情况讨论:①MN=NA、②MN=MA、③NA=MA;直接根据等量关系列方程求解即可。
举一反三
已知抛物线
,下列结论:
①抛物线开口向上;
②抛物线与
轴交于点(-1,0)和点(1,0);
③抛物线的对称轴是
轴;
④抛物线的顶点坐标是(0,1);
⑤抛物线
是由抛物线
向上平移1个单位得到的.
其中正确的个数有
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
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二次函数
的图象如图所示,则反比例函数
与一次函数
在同一坐标系中的大致图象是
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已知抛物线
的顶点为P,与
轴交于点A,与直线OP交于点B.
(Ⅰ)如图1,若点P的横坐标为1,点B的坐标为(3,6),试确定抛物线的解析式;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若点M是直线AB下方抛物线上的一点,且
,求点M的坐标;
(Ⅲ)如图2,若点P在第一象限,且PA=PO,过点P作PD⊥
轴于点D.将抛物线
平移,平移后的抛物线经过点A、D,该抛物线与
轴的另一个交点为C,请探究四边形OABC的形状,并说明理由.
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已知抛物线
与
轴交于点A(
,0),
(1)直接写出抛物线与
轴的另一个交点B的坐标;
(2)若直线过抛物线顶点M及抛物线与
轴的交点
(0,3).
① 求直线MC所对应的函数关系式;
② 若直线MC与
轴的交点为
,在抛物线上是否存在点
,使得△NPC是以
NC
为直角边的直角三角形?若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
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定义
为函数
的“特征数”.如:函数
的“特征数”是
,函数
的“特征数”是
,函数
的“特征数”是
(1)将“特征数”是
的函数图象向下平移2个单位,得到一个新函数,这个新
函数的解析式是
;
(2)在(1)中,平移前后的两个函数分别与
轴交于A、B两点,与直线
分别交于
D、C两点,在给出的平面直角坐标系中画出图形,判断以A、B、C、D四点为顶点的四边形形状,并说明理由;
(3)若(2)中的四边形与“特征数”是的函数图象有交点,试求出实数
b
的取值范围.
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