如图,已知抛物线y=a(x-1)2+(a≠0)经过点A(-2,0),抛物线的顶点为D,过O作射线OM∥AD.过顶点D平行于轴的直线交射线OM于点C,B在轴正半轴
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如图,已知抛物线y=a(x-1)2+(a≠0)经过点A(-2,0),抛物线的顶点为D,过O作射线OM∥AD.过顶点D平行于轴的直线交射线OM于点C,B在轴正半轴
题型:不详
难度:
来源:
如图,已知抛物线
y
=
a
(
x
-1)
2
+
(
a
≠0)经过点
A
(-2,0),抛物线的顶点为
D
,过
O
作射线
OM
∥
AD
.过顶点
D
平行于
轴的直线交射线
OM
于点
C
,
B
在
轴正半轴上,连结
BC
.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若动点
P
从点
O
出发,以每秒1个长度单位的速度沿射线
OM
运动,设点
P
运动的时间为
t
(
s
).问:当
t
为何值时,四边形
DAOP
分别为平行四边形?直角梯形?等腰梯形?
(3)若
OC
=
OB
,动点
P
和动点
Q
分别从点
O
和点
B
同时出发,分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿
OC
和
BO
运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为
t
(
s
),连接
PQ
,当
t
为何值时,四边形
BCPQ
的面积最小?并求出最小值及此时
PQ
的长.
答案
(1)
y
=-
(
x
-1)
2
+
(2)当
t
=6
s
、5
s
、4
s
时,四边形
DAOP
分别为平行四边形、直角梯形、等腰梯形.(3)
t
=
(
s
)时,
S
四边形
BCPQ
的最小值为
,
PQ
的长为
解析
解:(1)把
A
(-2,0)代入
y
=
a
(
x
-1)
2
+
,得0=
a
(-2-1)
2
+
.
∴
a
=-
································· 1分
∴该抛物线的解析式为
y
=-
(
x
-1)
2
+
即
y
=-
x
2
+
x
+
.······················· 3分
(2)设点
D
的坐标为(
x
D
,
y
D
),由于
D
为抛物线的顶点
∴
x
D
=-
=1,
y
D
=-
×1
2
+
×1+
=
.
∴点
D
的坐标为(1,
).
如图,过点
D
作
DN
⊥
x
轴于
N
,则
DN
=
,
AN
=3,∴
AD
=
=6.
∴∠
DAO
=60°······························· 4分
∵
OM
∥
AD
①当
AD
=
OP
时,四边形
DAOP
为平行四边形.
∴
OP
=6
∴
t
=6(
s
)························ 5分
②当
DP
⊥
OM
时,四边形
DAOP
为直角梯形.
过点
O
作
OE
⊥
AD
轴于
E
.
在Rt△
AOE
中,∵
AO
=2,∠
EAO
=60°,∴
AE
=1.
(注:也可通过Rt△
AOE
∽Rt△
AND
求出
AE
=1)
∵四边形
DEOP
为矩形,∴
OP
=
DE
=6-1=5.
∴
t
=5(
s
)································ 6分
③当
PD
=
OA
时,四边形
DAOP
为等腰梯形,此时
OP
=
AD
-2
AE
=6-2=4.
∴
t
=4(
s
)
综上所述,当
t
=6
s
、5
s
、4
s
时,四边形
DAOP
分别为平行四边形、直角梯形、等腰梯形.
······································ 7分
(3)∵∠
DAO
=60°,
OM
∥
AD
,∴∠
COB
=60°.
又∵
OC
=
OB
,∴△
COB
是等边三角形,∴
OB
=
OC
=
AD
=6.
∵
BQ
=2
t
,∴
OQ
=6-2
t
(0<
t
<3)
过点
P
作
PF
⊥
x
轴于
F
,
则
PF
=
t
.······························· 8分
∴
S
四边形
BCPQ
=
S
△
COB
-
S
△
POQ
=
×6×
-
×(6-2
t
)×
t
=
(
t
-
)
2
+
··························· 9分
∴当
t
=
(
s
)时,
S
四边形
BCPQ
的最小值为
.················ 10分
此时
OQ
=6-2
t
=6-2×
=3,
OP
=
,
OF
=
,∴
QF
=3-
=
,
PF
=
.
∴
PQ
=
=
=
················· 12分
(1)把
A
(-2,0)代入
y
=
a
(
x
-1)
2
+
,求得a的值,从而求得该抛物线的解析式
(2)由抛物线的解析式求得点
D
的坐标,过点
D
作
DN
⊥
x
轴于
N
,①当
AD
=
OP
时,四边形
DAOP
为平行四边形.②当
DP
⊥
OM
时,四边形
DAOP
为直角梯形.③当
PD
=
OA
时,四边形
DAOP
为等腰梯形,分别求得出t的值
(3)由已知求得
OB
=
OC
=
AD
=6,过点
P
作
PF
⊥
x
轴于
F
,从而求得四边形BCPQ面积关系式,求得t的值和面积的最小值,利用勾股定理求得
PQ
的长
举一反三
已知二次函数
在
和
时的函数值相等。
(1)求二次函数的解析式;
(2)若一次函数
的图象与二次函数的图象都经过点A
,求m和k的值;
(3)设二次函数的图象与x轴交于点B,C(点B在点C的左侧),将二次函数的图象在点B,C间的部分(含点B和点C)向左平移
个单位后得到的图象记为C,同时将(2)中得到的直线
向上平移n个单位。请结合图象回答:当平移后的直线与图象G有公共点时,n的取值范围。
题型:不详
难度:
|
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如图,抛物线
与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
(1)求点A、B的坐标;
(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,求点D的坐标;
(3)若直线l过点E(4,0),M为直线l上的动点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线l的解析式.
题型:不详
难度:
|
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如图,在平面直角坐标系中,直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上.O为原点,点A的坐标为(6,0),点B的坐标为(0,8).动点M从点O出发.沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动,同时动点N从点A出发,沿AB向终点B以每秒
个单位的速度运动.当一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动,设动点M、N运动的时间为t秒(t>0).
(1)当t=3秒时.直接写出点N的坐标,并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式;
(2)在此运动的过程中,△MNA的面积是否存在最大值?若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由;
(3)当t为何值时,△MNA是一个等腰三角形?
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线
,下列结论:
①抛物线开口向上;
②抛物线与
轴交于点(-1,0)和点(1,0);
③抛物线的对称轴是
轴;
④抛物线的顶点坐标是(0,1);
⑤抛物线
是由抛物线
向上平移1个单位得到的.
其中正确的个数有
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
题型:不详
难度:
|
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二次函数
的图象如图所示,则反比例函数
与一次函数
在同一坐标系中的大致图象是
题型:不详
难度:
|
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