如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△

题型：不详难度：来源：

如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A、B的坐标；
（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；
（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．

答案

解：（1）在中，令y=0，即，解得x₁=﹣4，x₂=2。
∵点A在点B的左侧，∴A、B点的坐标为A（﹣4，0）、B（2，0）。
（2）由得，对称轴为x=﹣1。
在中，令x=0，得y=3。
∴OC=3，AB=6，。
在Rt△AOC中，。
设△ACD中AC边上的高为h，则有AC•h=9，解得h=。
如图1，在坐标平面内作直线平行于AC，且到AC的距离=h=，这样的直线有2条，分别是L₁和L₂，则直线与对称轴x=﹣1的两个交点即为所求的点D。

设L₁交y轴于E，过C作CF⊥L₁于F，则CF=h=，
∴。
设直线AC的解析式为y=kx+b，
将A（﹣4，0），B（0，3）坐标代入，得
，解得。
∴直线AC解析式为。
直线L₁可以看做直线AC向下平移CE长度单位（个长度单位）而形成的，
∴直线L₁的解析式为。
则D₁的纵坐标为。∴D₁（﹣4，）。
同理，直线AC向上平移个长度单位得到L₂，可求得D₂（﹣1，）。
综上所述，D点坐标为：D₁（﹣4，），D₂（﹣1，）。
（3）如图2，以AB为直径作⊙F，圆心为F．过E点作⊙F的切线，这样的切线有2条．
连接FM，过M作MN⊥x轴于点N。

∵A（﹣4，0），B（2，0），∴F（﹣1，0），⊙F半径FM=FB=3。
又FE=5，则在Rt△MEF中，-
ME=，sin∠MFE=，cos∠MFE=。
在Rt△FMN中，MN=MN•sin∠MFE=3×，
FN=MN•cos∠MFE=3×。
则ON=。∴M点坐标为（，）。
直线l过M（，），E（4，0），
设直线l的解析式为y=k₁x+b₁，则有，解得。
∴直线l的解析式为y=x+3。
同理，可以求得另一条切线的解析式为y=x﹣3。
综上所述，直线l的解析式为y=x+3或y=x﹣3。

解析

二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，勾股定理，直线平行和平移的性质，直线与圆的位置关系，直线与圆相切的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义。
（1）A、B点为抛物线与x轴交点，令y=0，解一元二次方程即可求解。
（2）根据题意求出△ACD中AC边上的高，设为h．在坐标平面内，作AC的平行线，平行线之间的距离等于h．根据等底等高面积相等的原理，则平行线与坐标轴的交点即为所求的D点．从一次函数的观点来看，这样的平行线可以看做是直线AC向上或向下平移而形成．因此先求出直线AC的解析式，再求出平移距离，即可求得所作平行线的解析式，从而求得D点坐标。这样的平行线有两条。
（3）本问关键是理解“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”的含义．因为过A、B点作x轴的垂线，其与直线l的两个交点均可以与A、B点构成直角三角形，这样已经有符合题意的两个直角三角形；第三个直角三角形从直线与圆的位置关系方面考虑，以AB为直径作圆，当直线与圆相切时，根据圆周角定理，切点与A、B点构成直角三角形．从而问题得解。这样的切线有两条。