如图，抛物线过原点O，与x轴交于A，点D（4，2）在该抛物线上，过点D作CD∥x轴，交抛物线于点C，交y轴于点B，连结CO、AD.小题1:求抛物线的解析式及点C

题型：不详难度：来源：

如图，抛物线过原点O，与x轴交于A，点D（4，2）在该抛物线上，过点D作CD∥x轴，交抛物线于点C，交y轴于点B，连结CO、AD.
小题1:求抛物线的解析式及点C的坐标
小题2:将△BCO绕点O按顺时针旋转90°后                                      再沿x轴对折得到△OEF（点C与点E对应），判断点E是否落在抛物线上，并说明理由；
小题3:设过点E的直线交OA于点P，交CD边于点Q. 问是否存在点P，使直线PQ分梯形AOCD的面积为1∶3两部分？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.

答案

小题1:；C(-1,2)
小题2:点E落在抛物线上. 理由如下：


由旋转、轴对称的性质知：
点E点的坐标为（2，-1）
当时，
点E落在抛物线上.    
小题3:存在点P（a，0）. 如上图记S_梯形CQPO= S₁，S_梯形ADQP = S₂，易求S_梯形ABCD = 8.
当PQ经过点F（3，0）时，易求S₁=5，S₂ = 3，此时S₁∶S₂不符合条件，故a≠3.
设直线PQ的解析式为y = kx+b(k≠0)，则，解得，
∴. 由y = 2得x = 3a－6，∴Q（3a－6，2）
∴CQ = 3a－5，P O= a，.
下面分两种情形：①当S₁∶S₂ = 1∶3时，= 2；
∴4a－75= 2，解得；
②当S₁∶S₂ = 3∶1时，；  ∴4a－75= 6，解得；
综上所述：所求点P的坐标为（，0）或（，0）   

解析

（1）根据O、D两点的坐标求出抛物线的解析式，然后利用抛物线的性质求出C点的坐标；
（2）利用旋转、轴对称的性质求出E点的坐标，从而得出点E在抛物线上；
（3）分二种情况讨论：①梯形COPQ面积:梯形DAPQ面积=1：3，②梯形COPQ面积:梯形DAPQ面积=3：1.