(本题10分)已知,如图,过点作平行于轴的直线,抛物线上的两点的横坐标分别为1和4,直线交轴于点,过点分别作直线的垂线,垂足分别为点、,连接.小题1:(1)求点

(本题10分)已知,如图,过点作平行于轴的直线,抛物线上的两点的横坐标分别为1和4,直线交轴于点,过点分别作直线的垂线,垂足分别为点、,连接.小题1:(1)求点

题型:不详难度:来源:
(本题10分)已知,如图,过点作平行于轴的直线,抛物线上的两点的横坐标分别为1和4,直线轴于点,过点分别作直线的垂线,垂足分别为点,连接

小题1:(1)求点的坐标;
小题2:(2)求证:
小题3:(3)点是抛物线对称轴右侧图象上的一动点,过点轴于点,是否存在点使得相似?若存在,请求出所有符合条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.
答案

小题1:(1).    
小题2:(2)       
小题3:(3)  
解析

分析:
(1)有两种方法,方法一是传统的点的待定系数法,方法二,通过作辅助线,构造△BGF∽△BHA由比例关系求出F点坐标;
(2)也有两种方法,方法一,在Rt△CEF中算出△DEF边长利用勾股定理证明CF⊥DF;方法二利用几何关系求出∠CFD=90°;
(3)求存在性问题,先假设存在,看是否找到符合条件的点P的坐标,此题分两种情况;①Rt△QPO∽Rt△CFD;②Rt△OPQ∽Rt△CFD,根据比例求出P点坐标。
解答:

(1)方法一:如图1,当x=-1时,y=1/4;当x=4时,y=4
∴A(-1,1/4),B(4,4)。
设直线AB的解析式为y=kx+b,
则-k+b=1/4,4k+b=4
解得k=3/4,b=1。
∴直线AB的解析式为y=3/4x+1。
当x=0时,y=1
∴F(0,1)。
方法二:求A、B两点坐标同方法一,

如图2,作FG⊥BD,AH⊥BD,垂足分别为G、H,交y轴于点N,则四边FOMG和四边形NOMH均为矩形,设FO=x,
∵△BGF∽△BHA
∴BG/BH=FG/AH
∴(4- x)/(4-1/4)=4/5
解得x=1
∴F(0,1)。
(2)证明:
方法一:在Rt△CEF中,CE=1,EF=2,
根据勾股定理得:CF2=CE2+EF2=12+22=5,
∴CF=
在Rt△DEF中,DE=4,EF=2
∴DF2=DE2+EF2=42+22=20
∴DF=2
由(1)得C(-1,-1),D(4,-1)
∴CD=5
∴CD2=52=25
∴CF2+DF2=CD2
∴∠CFD=90°
∴CF⊥DF(8分)
方法二:由(1)知AF==,AC=5/4
∴AF=AC。
同理:BF=BD
∴∠ACF=∠AFC
∵AC∥EF
∴∠ACF=∠CFO
∴∠AFC=∠CFO
同理:∠BFD=∠OFD
∴∠CFD=∠OFC+∠OFD=90°
即CF⊥DF(8分)
(3)存在。
解:如图3,作PM⊥x轴,垂足为点M(9分)

又∵PQ⊥OP
∴Rt△OPM∽Rt△OQP
∴PM/PQ=OM/OP
∴PQ/OP=PM/OM。
设P(x,1/4x2)(x>0),
则PM=1/4x2,OM=x
①当Rt△QPO∽Rt△CFD时,
PQ/OP=CF/DF=/2=1/2
∴PM/OM=1/4x2/x=1/2
解得x=2   
∴P1(2,1)。
②当Rt△OPQ∽Rt△CFD时,
PQ/OP=DF/CF=2/=2
∴PM/OM=1/4x2/x=2
解得x=8
∴P2(8,16)
综上,存在点P1(2,1)、P2(8,16)使得△OPQ与△CDF相似。
点评:此题是一道综合性较强的题,前两问方法多,有普通的方法和新颖的方法,作合适的辅助线很重要,最后一问是探究性问题,发散思维。
举一反三
(本题满分7分)如图,等腰梯形ABCD的底边AD在x轴上,顶点C在y轴正半轴上,B(4,2),一次函数y=kx-1的图象平分它的面积,关于x的函数y=mx2-(3m+k)x+2m+k的图象与坐标轴只有两个交点,求m的值.
题型:不详难度:| 查看答案
二次函数的对称轴为__      ____ .
题型:不详难度:| 查看答案
已知抛物线,图象与y轴交点的坐标是(  )
A.(0,3)B.(0,-3)C.(0,D.(0, -

题型:不详难度:| 查看答案
已知二次函数的图象如右图所示,a、b、c满足(  )
A.a<0,b<0,c>0       B. a<0,b<0, c<0
C.a<0,b>0,c>0         D. a>0,b<0,c>0
题型:不详难度:| 查看答案
把抛物线y=x2向左平移3个单位,再向下平移2个单位后,所得的抛物线的表达式是                
题型:不详难度:| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.