(1)由已知,根据抛物线的轴对称性,得m=2, ∴ 顶点M的坐标为(2,4), ………………(1分) 故可设其关系式为y=a(x-2)2+4. 又抛物线经过O(0,0),于是得a(0-2)2+4=0,解得 a=-1. ………(3分) ∴ 所求函数关系式为y=-(x-2)2+4,即y=-x2+4x. ………(4分) (2)① ∵ 点A在x轴的正半轴上,且N在抛物线上,CB⊥PN, ∴ OA=AP=t, ∴ 点P,B,N的坐标分别为(t,t),(t,3),(t, -t2+4t). ∴ BP=3-t,AN= -t2+4t(0≤t≤3). ∴ PN=AN-AP=(-t2+4t)-t=-t2+3t=t(3-t)≥0. ………(6分) 要使得△PNC是以PN为底边的等腰三角形, 只需PN=2BP,即-t2+3t=2(3-t), 整理,得t2-5t+6=0,解得 t1=2,t2=3. 当t=3时,P,N两点重合,不符合题意,舍去. ∴ 当t=2时,△PNC是以PN为底边的等腰三角形. ………(8分) ② S存在最大值. ………(9分) (ⅰ)当PN=0,即t=0或t=3时,以点P,N,C,D为顶点的多边形是三角形. 若t=0,则S=AD·AB=·3·2=3. 若t=3,则S=BC·AB=·1·3=. (ⅱ)当PN≠0,即0<t<3时,以点P,N,C,D为顶点的多边形是四边形. 连结PD,CN,则 S=S四边形ANCD-S△ADP= S梯形ABCD+S△BCN -S△ADP =(BC+AD)·AB+BN·BC-AP·AD =(1+2)·3+(-t2+4t- 3)·1-t·2 =-t2+t+ 3=-(t-1)2+. 由-<0,0<t<3,当t=1时,S最大=. 综上所述,当t=1时,以点P,N,C,D为顶点的多边形面积有最大值, 这个最大值为. ………………(13分) |