如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD是等腰梯形，A、B在x轴上，D在y轴上，AB∥CD，AD=BC=17，AB=5，CD=3，抛物线y=-x2+bx+c

题型：不详难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD是等腰梯形，A、B在x轴上，D在y轴上，AB∥CD，AD=BC=

17

，AB=5，CD=3，抛物线y=-x²+bx+c过A、B两点．
（1）求b、c；
（2）设M是x轴上方抛物线上的一动点，它到x轴与y轴的距离之和为d，求d的最大值；
（3）当（2）中M点运动到使d取最大值时，此时记点M为N，设线段AC与y轴交于点E，F为线段EC上一动点，求F到N点与到y轴的距离之和的最小值，并求此时F点的坐标．

答案

（1）易得A（-1，0）B（4，0），
把x=-1，y=0；
x=4，y=0分别代入y=-x²+bx+c，
得

-1-b+c=0 -16+4b+c=0

，
解得

b=3 c=4

．（3分）

（2）设M点坐标为（a，-a²+3a+4），
d=|a|-a²+3a+4．
①当-1＜a≤0时，d=-a²+2a+4=-（a-1）²+5，
所以，当a=0时，d取最大值，值为4；
②当0＜a＜4时，d=-a²+4a+4=-（a-2）²+8
所以，当a=2时，d取最大值，最大值为8；
综合①、②得，d的最大值为8．
（不讨论a的取值情况得出正确结果的得2分）

（3）N点的坐标为（2，6），
过A作y轴的平行线AH，过F作FG⊥y轴交AH于点Q，过F作FK⊥x轴于K，
∵∠CAB=45°，AC平分∠HAB，
∴FQ=FK
∴FN+FG=FN+FK-1，
所以，当N、F、K在一条直线上时，FN+FG=FN+FK-1最小，最小值为5．
易求直线AC的函数关系式为y=x+1，把x=2代入y=x+1得y=3，
所以F点的坐标为（2，3）．