在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,点P(m,-1)(m>0).连接OP,将线段OP绕点O按逆时针方向旋转90°得到线段OM,且点M是抛物线y=ax2+bx+c
题型:不详难度:来源:
在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,点P(m,-1)(m>0).连接OP,将线段OP绕点O按逆时针方向旋转90°得到线段OM,且点M是抛物线y=ax2+bx+c的顶点. (1)若m=1,抛物线y=ax2+bx+c经过点(2,2),当0≤x≤1时,求y的取值范围; (2)已知点A(1,0),若抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点B,直线AB与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个交点,请判断△BOM的形状,并说明理由. |
答案
(1)∵线段OP绕点O按逆时针方向旋转90°得到线段OM ∴∠POM=90°,OP=OM 过点P(m,-1)作PQ⊥x轴于Q,过点M作MN⊥y轴于N, ∵∠POQ+∠MOQ=90° ∠MON+∠MOQ=90° ∴∠MON=∠POQ ∴∠ONM=∠OQP=90° ∴△MON≌△OPQ ∴MN=PQ=1,ON=OQ=m ∴M(1,m) ∵m=1 ∴M(1,1) ∵点M是抛物线y=a(x-1)2+1 ∵抛物线经过点(2,2) ∴a=1 ∴y=(x-1)2+1 ∴此抛物线开口向上,对称轴为x=1 ∴当x=0时,y=2, 当x=1时,y=1 ∴y的取值范围为1≤y≤2.
(2)∵点M(1,m)是抛物线y=ax2+bx+c的顶点 ∴可设抛物线为y=a(x-1)2+m ∵y=a(x-1)2+m=ax2-2ax+a+m ∴B(0,a+m) 又∵A(1,0) ∴直线AB的解析式为y=-(a+m)x+(a+m) 解方程组 | y=ax2-2ax+a+m | y=-(a+m)x+(a+m) |
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得ax2+(m-a)x=0 ∵直线AB与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个交点, ∴△=(m-a)2=0 ∴m=a ∴B(0,2m). 在Rt△ONM中,由勾股定理得 OM2=MN2+ON2=1+m2 ∴BM=OM ∴△BOM是等腰三角形.
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举一反三
善于不断改进学习方法的小迪发现,对解题进行回顾反思,学习效果更好.某一天小迪有20分钟时间可用于学习.假设小迪用于解题的时间x(单位:分钟)与学习收益量y的关系如图1所示,用于回顾反思的时间x(单位:分钟)与学习收益y的关系如图2所示(其中OA是抛物线的一部分,A为抛物线的顶点),且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间. (1)求小迪解题的学习收益量y与用于解题的时间x之间的函数关系式; (2)求小迪回顾反思的学习收益量y与用于回顾反思的时间x的函数关系式; (3)问小迪如何分配解题和回顾反思的时间,才能使这20分钟的学习收益总量最 大? |
如图,在半径为r的半圆⊙O中,半径OA⊥直径BC,点E、F分别在弦AB、AC上滑动并保持AE=CF,但点F不与A、C重合,点E不与A、B重合. (1)求证:S四边形AEOF=r2; (2)设AE=x,S△OEF=y,写出y与x之间的函数关系式及自变量x的范围; (3)当S△OEF=S△ABC时,求点E、F分别在AB、AC上的位置及EF的长.
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已知二次函数y=x2-2mx+m2-4的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),且与y轴交于点D. (1)当点D在y轴正半轴时,是否存在实数m,使得△BOD为等腰三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由; (2)当m=-1时,将函数y=x2-2mx+m2-4的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象Ω.当直线y=x+b与图象Ω有两个公共点时,求实数b的取值范围. |
已知二次函数的顶点C的横坐标为1,一次函数y=kx+2的图象与二次函数的图象交于A、B两点,且A点在y轴上,以C为圆心,CA为半径的⊙C与x轴相切, (1)求二次函数的解析式; (2)若B点的横坐标为3,过抛物线顶点且平行于x轴的直线为l,判断以AB为直径的圆与直线l的位置关系; (3)在满足(2)的条件下,把二次函数的图象向右平移7个单位,向下平移t个单位(t>2)的图象与x轴交于E、F两点,当t为何值时,过B、E、F三点的圆的面积最小? |
“假日旅乐园”中一种新型水上滑梯如图,其中线段PA表示距离水面(x轴)高度为5m的平台(点P在y轴上).滑道AB可以看作反比例函数图象的一部分,滑道BCD可以看作是二次函数图象的一部分,两滑道的连接点B为抛物线BCD的顶点,且点B到水面的距离BE=2m,点B到y轴的距离是5m.当小明从上而下滑到点C时,与水面的距离CG=m,与点B的水平距离CF=2m. (1)求反比例函数的解析式及其自变量的取值范围. (2)求二次函数的解析式及其自变量的取值范围. (3)小明从点B滑水面上点D处时,试求他所滑过的水平距离d.
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