(1)y=ax2-5ax+4, 对称轴:x=-=;
(2)经过△ABC的三个顶点,已知BC∥x轴,点A在x轴上,点C在y上,且AC=BC, 令x=0,y=4,可知C点坐标(0,4), BC∥x轴,所以B点纵坐标也为4, 又∵BC两点关于对称轴x=对称, 即:=, xB=5, ∴B点坐标(5,4). A点在x轴上,设A点坐标(m,0), AC=BC,即AC2=BC2, AC2=42+m2, BC=5, ∴42+m2=52, ∴m=±3, ∴A点坐标(-3,0), 将A点坐标之一(-3,0)代入y=ax2-5ax+4, 0=9a+15a+4, a=-, y=-x2+x+4; 将A点坐标是(3,0),则与A在x轴的负半轴矛盾,故舍去. 故函数关系式为:y=-x2+ x+4.
(3)存在符合条件的点P共有3个.以下分三类情形探索. 设抛物线对称轴与x轴交于N,与CB交于M. 过点B作BQ⊥x轴于Q, 易得BQ=4,AQ=8,AN=5.5,BM=. ①以AB为腰且顶角为角A的△PAB有1个:△P1AB. ∴AB2=AQ2+BQ2=82+42=80(8分) 在Rt△ANP1中,P1N====, ∴P1(,-).(9分) ②以AB为腰且顶角为角B的△PAB有1个:△P2AB. 在Rt△BMP2中MP2== = =,(10分) ∴P2=(,).(11分) ③以AB为底,顶角为角P的△PAB有1个,即△P3AB. 画AB的垂直平分线交抛物线对称轴于P3,此时平分线必过等腰△ABC的顶点C. 过点P3作P3K垂直y轴,垂足为K,显然Rt△P3CK∽Rt△BAQ. ∴==. ∵P3K=2.5 ∴CK=5于是OK=1,(13分) ∴P3(2.5,-1). ④以B为顶点时,交于x轴上方,求得P(,)(舍去). |