(1)由题意,得x1•x2=2b-1.(1分) ∵OA•OB=3,OA=x1OB=x2, ∴x1•x2=3.(2分) ∴2b-1=3. ∴b=2.(3分) ∴所求的抛物线解析式是:y=-x2+4x-3.(4分)
(2)证明:如图, ∵y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1, ∴顶点C(2,1),D(2,0),CD=1.(5分) 令y=0,得-x2+4x-3=0. 解得x1=1,x2=3.(6分) ∴A(1,0),B(3,0),AD=DB=1.(7分) ∴AD=DC=DB. ∴D为△ABC的外心.(8分)
(3)解法一:设抛物线存在点P(x,y),使S△ABP=1. 由(2)可求得AB=3-1=2. ∴S△ABP=AB•|y|=×2•|y|=1.(9分) ∴y=±1. 当y=1时,-x2+4x-3=1,解得x1=x2=2.(10分) 当y=-1时,-x2+4x-3=-1,解得x=2±.(11分) ∴存在点P,使S△ABP=1. 点P的坐标是(2,1)或(2+,-1)或 (2-,-1).(12分) 解法二:由(2)得S△ABC=AB•CD=×2×1=1.(9分) ∴顶点C(2,1)是符合题意的一个点.(10分) 另一方面,直线y=-1上任一点M,能使S△AMB=1, 把直线y=-1代入抛物线解析式,得-x2+4x-3=-1. 解得x=2±.(11分) ∴存在点P,使S△ABP=1. 点P的坐标是(2,1)或(2+,-1)或(2-,-1).(12分) |