根据下列条件,求二次函数的解析式(1)图象经过点(-1,3),(1,3),(2,6);(2)抛物线顶点坐标为(-1,9),并且与y轴交于(0,-8);(3)抛物

根据下列条件,求二次函数的解析式(1)图象经过点(-1,3),(1,3),(2,6);(2)抛物线顶点坐标为(-1,9),并且与y轴交于(0,-8);(3)抛物

题型:不详难度:来源:
根据下列条件,求二次函数的解析式
(1)图象经过点(-1,3),(1,3),(2,6);
(2)抛物线顶点坐标为(-1,9),并且与y轴交于(0,-8);
(3)抛物线的对称轴是直线x=1,与x轴的一个交点为(-2,0),与y轴交于点(0,12);
(4)图象顶点坐标是(2,-5),且过原点;
(5)图象与x轴的交点坐标是(-1,0),(-3,0)且函数有最小值-5;
(6)当x=2时,函数的最大值是1,且图象与x轴两个交点之间的距离为2.
答案
(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,
把(-1,3),(1,3),(2,6)代入解析式得,
3=a-b+c①,
3=a+b+c②,
6=4a+2b+c③,
解由①②③组成的方程组得,a=1,b=0,c=2.
所以二次函数的解析式为y=x2+2.
(2)设y=a(x+1)2+9,
把(0,-8)代入解析式得,a=-17,
∴y=-17(x+1)2+9=-17x2-34x-8,
所以二次函数的解析式为y=-17x2-34x-8.
(3)∵对称轴是直线x=1,与x轴的一个交点为(-2,0),
∴与x轴的另一个交点为(4,0),
设y=a(x+2)(x-4),
把(0,12)代入解析式得,a=-
3
2

∴y=-
3
2
(x+2)(x-4)=-
3
2
x2+3x+12,
所以二次函数的解析式为y=-
3
2
x2+3x+12.
(4)设y=a(x-2)2-5,
把(0,0)代入解析式得,a=
5
4

∴y=
5
4
(x-2)2-5=
5
4
x2-5x,
所以二次函数的解析式为y=
5
4
x2-5x.
(5)设y=a(x+1)(x+3),
根据题意可得对称轴为直线x=-2,又函数有最小值-5,
∴顶点坐标为(-2,-5),代入解析式得,a=-5.
∴y=-5(x+1)(x+3)=-5x2-20x-15,
所以二次函数的解析式为y=-5x2-20x-15.
(6)∵当x=2时,函数的最大值是1,即顶点坐标为(2,1),
∴抛物线的对称轴为直线x=2,而图象与x轴两个交点之间的距离为2,则交点坐标分别为(1,0),(3,0),
设y=a(x-1)(x-3),
把(2,1)代入解析式得,a=-1,
∴y=-(x-1)(x-3)=-x2+4x-3,
所以二次函数的解析式为y=-x2+4x-3.
举一反三
己知抛物线y=3x2+4(a+1)x+3的顶点在x轴上,那么a的值是______.
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已知二次函数:(1)图象不经过第三象限;(2)图象经过点(2,-5),请你写出一个同时满足(1)和(2)的函数关系式:______.
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若二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交于点A(0,3),且经过B(1,0)、C(2,-1)两点,求此二次函数的解析式.
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二次函数的图象经过点(1,0),(0,-3),且对称轴是直线x=2.求此二次函数.
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抛物线顶点为(3,-4),与y轴交于(0,2),则抛物线解析式为______.
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