如图所示,在平面直角坐标系中,矩形ABCO的两边OA、OC分别在x轴和y轴的正半轴上,OA=4,OC=2。点P从点O出发,沿x轴以每秒1个单位长度的速度向点A匀

如图所示,在平面直角坐标系中,矩形ABCO的两边OA、OC分别在x轴和y轴的正半轴上,OA=4,OC=2。点P从点O出发,沿x轴以每秒1个单位长度的速度向点A匀

题型:河北省模拟题难度:来源:
如图所示,在平面直角坐标系中,矩形ABCO的两边OA、OC分别在x轴和y轴的正半轴上,OA=4,OC=2。点P从点O出发,沿x轴以每秒1个单位长度的速度向点A匀速运动,当点P到达点A时停止运动。设点P运动的时间是t秒,将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得到点D,点D随点P的运动而运动,连结DP,DA。
(1)请用含t的代数式表示出点D的坐标;
(2)求t为何值时,△DPA的面积最大?最大面积为多少?
(3)当点P与点O重合时,CO的中点绕点P旋转后的对应点为D1,点P与点A重合时,CA中点绕P点旋转后的对应点为D2,求直线D1D2的解析式;
(4)求出随着点P的运动,点D运动路线的长度。
答案
解:(1)过点D作DE⊥x轴于点E,
则∠DPE=∠COP=90°,
因为∠CPD=90°,
∴∠DPE=90°-∠CPO,
又∵∠OPC=90°-∠CPO,
∴∠DPE=∠OPC,
∴△PED∽△COP,

∴PE==1,DE=OE=OP+PE=t+1,
∴D点的坐标为
(2)PA=4-t,DE==t,所以S△DPA==
∴当t=2时,S△DPA最大,且最大值为1;
(3)D1(1,0),D2(5,2),设直线D1D2的解析式为y=kx+b,所以,解得
∴直线D1D2的解析式为y=
(4)将D点坐标代入到解析式中,y=
∴点D在直线D1D2上,即D点运动的路线是一条线段,起点是D1(1,0),终点是D2(5,2),
D1D2=,∴点D运动路线的长度为
举一反三
已知二次函数 y=ax2+bx-(a≠0)的图象经过点(1,0),和(-3,0),反比例函数 y1=(x>0)的图象经过点(1,2)。
(1)求这两个二次函数的解析式,并在给定的直角坐标系中作出这两个函数的图象;
(2)若反比例函数 y1=(x>0)的图象与二次函数 y=ax2+bx-(a≠0))的图象在第一象限内交于点A(x0,y0),x0落在两个相邻的正整数之间,请你观察图象写出这两个相邻的正整数;
(3)若反比例函数 y2=(k>0,x>0))的图象与二次函数 y=ax2+bx-(a≠0)的图象在第一象限内的交点为A,点A的横坐标x0满足2<x0<3,试求实数k的取值范围。
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已知:抛物线经过坐标原点。
(1)求抛物线的解析式和顶点B的坐标;
(2)设点A是抛物线与x轴的另一个交点,试在y轴上确定一点P,使PA+PB最短,并求出点P的坐标;
(3)过点A作AC∥BP交y轴于点C,求到直线AP、AC、CP距离相等的点的坐标。
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家惠商场服装部为促进营销、吸引顾客,决定试销一种成本为每件60元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于45%,试销过程中发现,销售量y(件)与销售单价x(元)之间存在如图所示的一次函数关系。
(1)求y关于x的函数关系式(不必写出x的取值范围);
(2)求试销期间该服装部销售该品牌服装获得利润W(元)与销售单价x(元)的函数关系式;销售单价定为多少元时,服装部可获得最大利润,最大利润是多少元?
(3)如果在试销期间该服装部想要获得500元的利润,那么销售单价应定为多少元?
(4)若在试销期间该服装部获得利润不低于500元,试确定销售单价x的范围。
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某市政府大力扶持大学生创业,李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯吗,销售过程中发现,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看作一次函数:y=-10x+500。 (1)设李明每月获得利润为w(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?
(2)如果李明想要每月获得2000元的利润,那么销售单价应定为多少元?
(3)根据物价部门规定,这种护眼台灯的销售单价不得高于32元,如果李明想要每月获得的利润不低于2000元,那么他每月的成本最少需要多少元?(成本=进价×销售量)
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已知反比例函数y=的图象与二次函数y=ax2+x-1的图象相交于点(2,2);
(1)求a和k的值;
(2)反比例函数的图象是否经过二次函数图象的顶点,为什么?
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