(1)由抛物线的顶点是M(1,4),设解析式为 又抛物线经过点N(2,3),所以, 解得a=-1 所以所求抛物线的解析式为y= 令y=0,得 解得: 得A(-1,0) B(3,0) ; 令x=0,得y=3,所以 C(0,3). (2)四边形CDAN是平行四边形,理由如下: 直线y=kx+t经过C、M两点,所以即k=1,t=3 直线解析式为y=x+3. 令y=0,得x=-3,故D(-3,0) CD= 连接AN,过N做x轴的垂线,垂足为F. 过A、N两点的直线的解析式为y=mx+n, 则解得m=1,n=1 所以过A、N两点的直线的解析式为y=x+1 所以DC∥AN. 在Rt△ANF中,AN=3,NF=3, 所以AN= ,所以DC=AN。 因此四边形CDAN是平行四边形. (3)假设存在这样的实数m,使以线段TQ为直径的圆恰好过坐标原点, 设 T(x1,y1) Q(x2,y2) 则由TO2+QO2=TQ2 得: x12+y12+x22+y22=(x1-x2)2+(y1-y2)2 化简得:x1 x2+ y1 y2 =0 ……① 又由y=-x2+2x+3 和y=mx+2 消去y得:x2 +(m-2)x-1=0 此时△=(m-2)2+4﹥0 恒成立, ∴x1 + x2 =2-m ,x1 x2 =-1. ……② 于是 y1 y2 =(m x1 +2)(m x2 +2) =m2 x1 x2 +2m(x1 + x2)+4 =-3 m2 +4m+4 ……③ 将②③代入①得: -1-3 m2 +4m+4=0 ,3 m2-4m-4=0 ∴ m== 故存在实数m= 使以线段TQ为直径的圆过坐标原点 |