如图,已知抛物线的顶点坐标为M(1,4),且经过点N(2,3),与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C。(1)求抛物线的解析式及点A、B、C的坐

如图,已知抛物线的顶点坐标为M(1,4),且经过点N(2,3),与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C。(1)求抛物线的解析式及点A、B、C的坐

题型:四川省模拟题难度:来源:
如图,已知抛物线的顶点坐标为M(1,4),且经过点N(2,3),与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C。
(1)求抛物线的解析式及点A、B、C的坐标;
(2)若直线y=kx+t经过C、M两点,且与x轴交于点D,探索并判断四边形CDAN是怎样的四边形?并对你得到的结论予以证明;
(3)直线y=mx+2与抛物线交于T,Q两点,是否存在这样的实数m,使以线段TQ为直径的圆恰好过坐标原点,若存在,请求出m的值;若不存在,请说明理由。
答案
(1)由抛物线的顶点是M(1,4),设解析式为
又抛物线经过点N(2,3),所以, 解得a=-1
所以所求抛物线的解析式为y=
令y=0,得
解得:
得A(-1,0) B(3,0) ;
令x=0,得y=3,所以 C(0,3). 
(2)四边形CDAN是平行四边形,理由如下:
直线y=kx+t经过C、M两点,所以即k=1,t=3
直线解析式为y=x+3. 
令y=0,得x=-3,故D(-3,0) CD=
连接AN,过N做x轴的垂线,垂足为F.
过A、N两点的直线的解析式为y=mx+n,
解得m=1,n=1
所以过A、N两点的直线的解析式为y=x+1
所以DC∥AN.
在Rt△ANF中,AN=3,NF=3,
所以AN= ,所以DC=AN。
因此四边形CDAN是平行四边形. 
(3)假设存在这样的实数m,使以线段TQ为直径的圆恰好过坐标原点,
设 T(x1,y1) Q(x2,y2
则由TO2+QO2=TQ2 得: x12+y12+x22+y22=(x1-x2)2+(y1-y2)2
化简得:x1 x2+ y1 y2 =0 ……①
又由y=-x2+2x+3 和y=mx+2
消去y得:x2 +(m-2)x-1=0
此时△=(m-2)2+4﹥0 恒成立,
∴x1 + x2 =2-m ,x1 x2 =-1. ……②
于是 y1 y2 =(m x1 +2)(m x2 +2)
=m2 x1 x2 +2m(x1 + x2)+4
=-3 m2 +4m+4 ……③
将②③代入①得: -1-3 m2 +4m+4=0 ,3 m2-4m-4=0
∴ m==
故存在实数m= 使以线段TQ为直径的圆过坐标原点
举一反三
如图,正方形ABCD的边长为4cm,点P是BC边上不与点B、C重合的任意一点,连接AP,过P点做PQ⊥AP 交DC于Q点,设BP 的长为xcm ,CQ的长为ycm,

(1)求y与x 之间的函数关系式并写出x 的取值范围;
(2)求点P在BC边上运动的过程中y 的最大值.
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如图,已知直线交坐标轴于A,B两点,以线段AB为边向上作正方形ABCD,过点A,D,C的抛物线与直线的另一个交点为E.
(1)直接写出点C和点D的坐标,C(     );D(     ) ;
(2)求出过A,D,C三点的抛物线的解析式.
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抛物线y=-3(x+1)2-2向右平移2个单位,并且再向下平移3个单位后所得到的新抛物线的解析式为(    )
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如图Rt△ABO的斜边OA在x轴的正半轴上,直角顶点B在第一象限,已知点B(2,4)。
(1)求A点的坐标;
(2)求过O﹑B﹑A三点的抛物线的解析式;
(3)判断该抛物线的顶点P与△ABO的外接圆的位置关系,并说明理由。
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二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表:
请你观察表格中数据的特点,写出二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为直线 x=(    ),对应的函数值y=(    ).
题型:江苏期中题难度:| 查看答案
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