已知函数y=x2+(b-1)x+c(b,c为常数),这个函数的图象与x轴交于两个不同的点A(x1,0)和B(x2,0).若x1,x2满足x2-x1>1;(1)求
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已知函数y=x2+(b-1)x+c(b,c为常数),这个函数的图象与x轴交于两个不同的点A(x1,0)和B(x2,0).若x1,x2满足x2-x1>1; (1)求证:b2>2(b+2c); (2)若t<x1,试比较t2+bt+c与x1的大小,并加以证明. |
答案
证明:(1)∵令y=x2+(b-1)x+c中y=0, 得到x2+(b-1)x+c=0, ∴x=,又x2-x1>1, ∴>1, ∴b2-2b+1-4c>1, ∴b2>2(b+2c);
(2)由已知x2+(b-1)x+c=(x-x1)(x-x2), ∴x2+bx+c=(x-x1)(x-x2)+x, ∴t2+bt+c=(t-x1)(t-x2)+t, t2+bt+c-x1=(t-x1)(t-x2)+t-x1=(t-x1)(t-x2+1), ∵t<x1, ∴t-x1<0, ∵x2-x1>1, ∴t<x1<x2-1, ∴t-x2+1<0, ∴(t-x1)(t-x2+1)>0, 即t2+bt+c>x1. |
举一反三
已知抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A,与x轴的正半轴交于B、C两点,且BC=2,S△ABC=3,那么b=______. |
初三数学课本上,用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时,列了如下表格:
x | … | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | … | y | … | -6 | -4 | -2 | -2 | -2 | … | 二次函数y=x2-2x-1的图象与x轴有两个交点A(x1,y1)、B(x2,y2),x1+x2的值等于( ) | 对于每个非零自然数n,抛物线y=x2-x+与x轴交于AnBn两点,以AnBn表示这两点间的距离,则A1B1+A2B2+…+A2009B2009+A2010B2010的值是______. | 已知抛物线y=3ax2+2bx+c. (1)若a=b=1,c=-1,求抛物线与x轴公共点的坐标; (2)若a=b=1,且当-1<x<1时,抛物线与x轴有且只有一个公共点,求c的取值范围. |
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