已知△ABC是锐角三角形.(1)求证:2sinA>cosB+cosC;(2)若点M在边AC上,作△ABM和△CBM的外接圆,则当M在什么位置时,两外接圆的公共部
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已知△ABC是锐角三角形. (1)求证:2sinA>cosB+cosC; (2)若点M在边AC上,作△ABM和△CBM的外接圆,则当M在什么位置时,两外接圆的公共部分面积最小? |
答案
(1)证明:如图,作AD⊥BC. 因为△ABC是锐角三角形, 所以∠BAC、∠B、∠C为锐角, 又因为∠BAD+∠CAD=∠BAC, 所以∠BAC>∠BAD,∠BAC>∠DAC, 所以sin∠BAC>sin∠BAD①, sin∠BAC>sin∠CAD②, ①+②得,2sin∠BAC>sin∠BAD+sin∠CAD
又因为sin∠BAD=cos∠B,sin∠CAD=cos∠C, 所以2sin∠BAC>cos∠B+cos∠C.
(2)如图,当BM⊥AC时,BM最短. 则弓形BmM和弓形BnM所对弦BM最短, 则两弓形面积最小,两外接圆的公共部分面积最小. |
举一反三
已知△ABC外切⊙O于D、E、F,这三个点把圆周分成9:5:10三条弧,那么△ABC最大内角为______. |
在下列四边形中,一定有内切圆的是( )A.直角梯形 | B.对角线相等的四边形 | C.菱形 | D.等腰梯形 |
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如图,O是△ABC内一点,且O到△ABC三边AB、BC、CA的距离相等,若∠BAC=70°,则∠BOC=______度. |
下列说法: ①三角形的外心到三角形三边的距离相等. ②在直径为20的圆中,长为10的弦所对圆心角是30° ③垂直平分弦的直线必经过圆心 ④平分弦的直径垂直于弦 ⑤等弧所对的圆周角相等 其中正确的个数有( ) |
若等腰Rt△ABC的外接圆半径为1,则它的面积是______. |
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