已知：如图，四边形ABCD中，∠C=90°，∠ABD=∠CBD，AB=CB，P是BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E、F．（1）求证：PA=EF；（

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已知：如图，四边形ABCD中，∠C=90°，∠ABD=∠CBD，AB=CB，P是BD上一点，PE⊥

BC，PF⊥CD，垂足分别为E、F．
（1）求证：PA=EF；
（2）若BD=10，P是BD的中点，sin∠BAP=

3

5

，求四边形PECF的面积．

答案

（1）连接PC、EF．
∵AB=CB，∠ABD=∠CBD，BD=BD，
∴△ABD≌△CBD，
∴∠BAD=∠BCD=90°，
∴AD=CD，∠ADB=∠CDB．
又∵DP=DP，
∴△ADP≌△CDP．
∴AP=PC，AP=EF．

（2）∵AP=PC，AP=EF，∠C=90°，
∴四边形PECF是矩形，
若BD=10，在Rt△BAD中，
∵P为BD中点，
∴AP=

1

2

BD=5，
∴PC=EF=5．
∵sin∠BAP=

3

5

，
∴sin∠PCE=

3

5

，
∴EP=3，FP=4，
∴EP?FP=3×4=12．
即四边形PECF的面积为12．