如图，已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°．求证：（1）EF=BE+DF；（2）SABCDS△EAF=2ABEF．

题型：不详难度：来源：

如图，已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°．
求证：（1）EF=BE+DF；
（2）

SABCD

S△EAF

=

2AB

EF

．

答案

证明：（1）延长CB到G，使GB=DF，连接AG（如图）
∵AB=AD，∠ABG=∠D=90°，GB=DF，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠3=∠2，AG=AF，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠1+∠2=45°，
∴∠GAE=∠1+∠3=45°=∠EAF，
∵AE=AE，∠GAE=∠EAF，AG=AF，
∴△AGE≌△AFE（SAS），
∴GB+BE=EF，
∴DF+BE=EF；

（2）∵△AEF≌△AGE，
∴S_△AEF=S_△AGE，
∴S△AEF=

1

2

GE×AB=

1

2

EF×AB，
又S_ABCD=AB²，
∴

SABCD

S△AEF

=

AB2

1 2 EF×AB

=

2AB

EF

．