已知:如图,正方形ABCD的边长为2a,H是以BC为直径的半圆O上一点,过H与圆O相切的直线交AB于E,交CD于F.(1)当点H在半圆上移动时,切线EF在AB、
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已知:如图,正方形ABCD的边长为2a,H是以BC为直径的半圆O上一点,过H与圆O相切的直线交AB于E,交CD于F.(1)当点H在半圆上移动时,切线EF在AB、
题型:增城市一模
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已知:如图,正方形ABCD的边长为2a,H是以BC为直径的半圆O上一点,过H与圆O相切的直线交AB
于E,交CD于F.
(1)当点H在半圆上移动时,切线EF在AB、CD上的两个交点也分别在AB、CD上移动(E、A不重合,F、D不重合),试问:四边形AEFD的周长是否也在变化?证明你的结论;
(2)设△BOE的面积为S
1
,△COF的面积为S
2
,正方形ABCD的面积为S,且S
1
+S
2
=
13
48
S,求BE与CF的长.
答案
(1)由题意知,AB、CD、EF都与半圆相切,
∴EH=EB,FH=CF.
∴四边形AEFD的周长=AE+EH+HF+DF+AD=AE+EB+FC+DF+AD=6a.
∴四边形AEFD的周长是定值,没有变化.
(2)∵EO平分∠BEH,FO平分∠CFH,
∴OF⊥EO.
∵∠EOB、∠OFC同为∠FOC的余角,∴∠EOB=∠OFC.
又∠EBO=∠OCF=90°,
∴△EBO
∽
△OCF.
∴
EB
OC
=
OB
CF
,即EB?CF=OC?OB=a
2
…①
∵S
1
+S
2
=
13
48
S,
∴
1
2
OB?BE+
1
2
OC?CF=
13
48
?4a
2
.
即BE+CF=
13
6
a…②
解①②得BE=
3
2
a,FC=
2
3
a;或BE=
2
3
a,FC=
3
2
a.
举一反三
下列说法中正确的个数有( )
①对角线互相平分且相等的四边形是菱形;
②有一组对边平行的四边形是梯形;
③如果四边形的两条对角线互相垂直,那么它的面积等于两条对角线长的积的一半;
④如果一个四边形绕对角线的交点旋转90°后,所得图形与原来的图形重合,那么这个四边形是正方形.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
题型:不详
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如图,梯形ABCD中,AB
∥
CD,S
△DEC
:S
△CEB
=1:2,则S
△DEC
:S
△EAB
等于( )
A.1:6
B.1:5
C.1:4
D.1:3
题型:不详
难度:
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△ABC中,∠C=90°,AC=3,CB=6,若以C为圆心,以r为半径作圆,那么:
(1)当直线AB与⊙C相离时,r的取值范围是______;
(2)当直线AB与⊙C相切时,r的取值范围是______;
(3)当直线AB与⊙C相交时,r的取值范围是______.
题型:不详
难度:
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如图,若长方形ABCD的面积为12,对角线长为5,则长方形的宽是______.
题型:不详
难度:
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用尺量一下,下面两个图形面积的大小关系是S
甲
______S
乙
.
题型:不详
难度:
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