如图所示，△ABC为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则四个结论正确的是______．①P在∠A的平分线上； ②AS=AR； 

题型：不详难度：来源：

如图所示，△ABC为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则四个结论正确的
是______．
①P在∠A的平分线上； ②AS=AR； ③QP∥AR； ④△BRP≌△QSP．

答案

∵PR=PS，PR⊥AB，PS⊥AC，
∴P在∠A的平分线上，
在Rt△ARP和Rt△ASP中，
∵

AP=AP PR=PS

，
∴Rt△ARP≌Rt△ASP（HL），
∴AS=AR，∠QAP=∠PAR，
∵AQ=PQ，
∴∠PAR=∠QPA，
∴∠QPA=∠QAR
∴QP∥AR，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=∠BAC=60°，
∴∠PAR=∠QPA=30°，
∴∠PQS=60°，
在△BRP和△QSP中，
∵

∠PQS=∠B ∠PRB=∠PSQ PS=PR

，
∴△BRP≌△QSP（AAS），
∴①②③④项四个结论都正确，
故答案为①②③④．