已知:如图,正△ABC的边长为a,D为AC边上的一个动点,延长AB至E,使BE=CD,连接DE,交BC于点P.(1)求证:DP=PE;(2)若D为AC的中点,求

已知:如图,正△ABC的边长为a,D为AC边上的一个动点,延长AB至E,使BE=CD,连接DE,交BC于点P.(1)求证:DP=PE;(2)若D为AC的中点,求

题型:苏州难度:来源:
已知:如图,正△ABC的边长为a,D为AC边上的一个动点,延长AB至E,使BE=CD,连接DE,
魔方格
交BC于点P.
(1)求证:DP=PE;
(2)若D为AC的中点,求BP的长.
答案

魔方格
(1)证明:过点D作DFAB,交BC于F.
∵△ABC为正三角形,
∴∠CDF=∠A=60°.
∴△CDF为正三角形.
∴DF=CD.
又BE=CD,
∴BE=DF.
又DFAB,
∴∠PEB=∠PDF.
∵在△DFP和△EBP中,





∠BPE=∠FPD
∠PEB=∠PDF
BE=FD

∴△DFP≌△EBP(AAS).
∴DP=PE.

(2)由(1)得△DFP≌△EBP,可得FP=BP.
∵D为AC中点,DFAB,
∴BF=
1
2
BC=
1
2
a.
∴BP=
1
2
BF=
1
4
a.
举一反三
如图①,在凸四边形中,∠ABC=30°,∠ADC=60°,AD=DC.
(1)如图②,若连接AC,则△ADC的形状是______三角形.你是根据哪个判定定理?
答:______.(请写出定理的具体内容)
(2)如图③,若在四边形ABCD的外部以BC为一边作等边△BCE,并连接AE,请问:BD与AE相等吗?若相等,请加以证明;若不相等,请说明理由.
(3)在第(2)题的前提下,请你说明BD2=AB2+BC2成立的理由.

魔方格
题型:不详难度:| 查看答案
如图,一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等,当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转,直至回到原出发位置时,则这个圆共转了(  )
A.4圈B.3圈C.5圈D.3.5圈
魔方格
题型:灌阳县一模难度:| 查看答案
在圆中,30°的圆周角所对的弦的长度为2


3
,则这个圆的半径是______.
题型:牡丹江难度:| 查看答案
下列图中,已知等边△ABC和等边△DBC有公共的底边BC

魔方格

(1)以图(1)中的某个点为旋转中心,旋转△DBC与△ABC重合,则旋转中心为______(写出所有满足条件的点)
(2)如图(2),已知B1是BC的中点,现沿着由B到B1的方向,将△DBC平移到△D1B1C1的位置,连接AC1,BD1得到的四边形ABD1C1是什么特殊四边形?说明你的理由.
(3)在四边形ABD1C1中有______对全等三角形,请你选出其中一对进行证明.
题型:天门模拟难度:| 查看答案
在△ABC中,已知AB=BC=CA,则sinA=______.
题型:丽水难度:| 查看答案
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