如下图,△ABC为等边三角形,AE=CD,AD、BE相交于点P,BQ⊥AD与Q,PQ=4,PE=1。(1)求证∠BPQ=60°;(2)求AD的长。

如下图,△ABC为等边三角形,AE=CD,AD、BE相交于点P,BQ⊥AD与Q,PQ=4,PE=1。(1)求证∠BPQ=60°;(2)求AD的长。

题型:山东省期末题难度:来源:
如下图,△ABC为等边三角形,AE=CD,AD、BE相交于点P,BQ⊥AD与Q,PQ=4,PE=1。
(1)求证∠BPQ=60°;
(2)求AD的长。
答案
解:(1)∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAE=∠ACD=60°,
又∵AE=CD,
∴△BAE≌△ACD,
∴∠1=∠2,
∵∠BAE=∠1+∠BAD=60°,
∴∠BAE=∠2+∠BAD=60°,
∴∠BPQ=60°;
(2)∵BQ⊥AD,
∴∠BQP=90°,
又∵∠BPQ=60°,
∴∠PBQ=30°,
∴BP=2PQ=2×4=8,
∴BE=BP+PE=8+1=9,
由(1)知△BAE≌△ACD,
∴CD=AE=9。
举一反三
等边△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I,则∠BIC等于[     ]
A.60°
B.90°
C.120°
D.150°
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如下图,等边△ABC中,D、E、F分别是各边上的一点,且AD=BE=CF。
求证:△DEF是等边三角形。
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一个角是60°的等腰三角形是 [     ]
A.等腰直角三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.上述都正确
题型:新疆自治区期末题难度:| 查看答案
设M,N,P分别是等边三角形ABC各边上的点,AM=BN=CP,则△MNP是[     ]
A.等边三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.不等边三角形
题型:云南省期末题难度:| 查看答案
已知△ABC为边长为10的等边三角形,D是BC边上一动点:
①如图1,点E在AC上,且BD=CE,BE交AD于F,当D点滑动时,∠AFE的大小是否变化?若不变,请求出其度数。
②如图2,过点D作∠ADG=60°与∠ACB的外角平分线交于G,当点D在BC上滑动时,有下列两个结论:①DC+CG的值为定值;②DG-CD的值为定值.其中有且只有一个是正确的,请你选择正确的结论加以证明并求出其值。
题型:湖北省期末题难度:| 查看答案
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