在Rt△ABC中,AD为斜边BC上的高,P是AB上的点,过A点作PC的垂线交过B所作AB的垂线于Q点.求证:PD丄QD.
题型:不详难度:来源:
在Rt△ABC中,AD为斜边BC上的高,P是AB上的点,过A点作PC的垂线交过B所作AB的垂线于Q点.求证:PD丄QD. |
答案
证明:如图,设AQ交CP于E点,连ED,EB,PQ, ∵AD为斜边BC上的高,AE⊥CP, ∴Rt△ACD∽Rt△BCA,Rt△ACE∽Rt△PCA, ∴AC2=CD?CB,AC2=CE?CP, ∴CD?CB=CE?CP, ∴△CDE∽△CPB, ∴∠CED=∠CBP, ∴B,D,E,P四点共圆, ∴∠1=∠5+∠6,∠5=∠4, 又∵BQ⊥AB, ∴∠QEP=∠PBQ=90°, ∴B,Q,E,P四点共圆, ∴∠1=∠2+∠3,∠2=∠4, ∴∠3=∠6, ∴D,Q,B,P四点共圆, 而∠PBQ=90°, ∴∠PDQ=90°, 即PD⊥DQ. |
举一反三
以下说法中,正确的个数有( ) (1)三角形的内角平分线、中线、高都是线段; (2)三角形的三条高一定都在三角形的内部; (3)三角形的一条中线将此三角形分成两个面积相等的小三角形; (4)三角形的3个内角中,至少有2个角是锐角. |
三角形的一个外角等于与它相邻的内角的4倍,等于与它不相邻的一个内角的2倍,则这个三角形各角的度数是( )A.45°,45°,90° | B.30°,60°,90° | C.36°,72°,72° | D.25°,25°,130° |
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国旗上的五角星中,五个锐角的和等于______°. |
如图,在△ABC中,E是AB上一点,D是BC上一点. (1)图中共有______个三角形.它们分别是______. (2)以AC为边的三角形共有______个,它们分别是______. (3)AC是△______中∠______的对边,也是△______中∠______的对边. (4)在△ABD,∠EAD的对边是______,在△AEO中∠EAO的对边是______. |
如图,已知在△ABC外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE,且∠BAD=∠CAE=90°,AM为△ABC中BC边上的中线,连接DE.求证:DE=2AM. |
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