如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM。（1）求证

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如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM。
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；
（3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长。

答案

解：（1）∵△ABE是等边三角形，
∴BA=BE，∠ABE=60°，
∵∠MBN=60°，
∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN，
即∠BMA=∠NBE，
又∵MB=NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS）；（2）①当M点落在BD的中点时，AM+CM的值最小；
②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，
理由如下：连接MN，
由（1）知，△AMB≌△ENB，
∴AM=EN，
∵∠MBN=60°，MB=NB，
∴△BMN是等边三角形，
∴BM=MN，
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM，
根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长；（3）过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴∠EBF=90°-60°=30°，
设正方形的边长为x，则BF=x，EF=，
在Rt△EFC中，
∵EF²+FC²=EC²，
∴（）²+（x+x）²=，
解得，x=（舍去负值），
∴正方形的边长为。